Question

17．已知a，b，c∈R，且ab+bc+ac=1．
（1）求證：|a+b+c|≥$\sqrt{3}$；
（2）若?x∈R，使得對一切實數(shù)a，b，c不等式m+|x-1|+|x+1|≤（a+b+c）²恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由題意可得，只需證（a+b+c）²≥3，只需證a²+b²+c²≥1，只需證a²+b²+c²-（ab+bc+ca）≥0，只需證（a-b）²+（b-c）²+（c-a）²≥0．
（2）由題意得  ${（m+|{x-1}|+|{x+1}|）_{min}}≤{（a+b+c）^2}_{min}$，即可求m的取值范圍．

解答 （1）證明：要證原不等式成立，只需證（a+b+c）²≥3，即證a²+b²+c²+2（ab+bc+ca）≥3，
又ab+bc+ca=1．所以，只需證：a²+b²+c²≥1，即a²+b²+c²-1≥0，
因為ab+bc+ca=1．所以，只需證：a²+b²+c²-（ab+bc+ca）≥0，
只需證：2a²+2b²+2c²-2（ab+bc+ca）≥0，
即（a-b）²+（b-c）²+（c-a）²≥0，而（a-b）²+（b-c）²+（c-a）²≥0顯然成立，
故原不等式成立；
（2）解：由題意得  ${（m+|{x-1}|+|{x+1}|）_{min}}≤{（a+b+c）^2}_{min}$
由（1）知（a+b+c）²_min=3，
又|x-1|+|x+1|≥|（x-1）-（x+1）|=2，∴m+2≤3，m的取值范圍為：m≤1．

點評 本題考查基本不等式，絕對值不等式的性質，恒成立，能成立綜合問題，用分析法證明不等式，尋找使不等式成立的充分條件，是解題的關鍵．