Question

【題目】設函數，.

（1）當時，函數有兩個極值點，求的取值范圍；

（2）若在點處的切線與軸平行，且函數在時，其圖象上每一點處切線的傾斜角均為銳角，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】分析：（1）求得導函數，題意說明有兩個零點，即有兩個解，或直線與函數的有兩個交點，可用導數研究的性質（單調性，極值等），再結合圖象可得的范圍；

（2）首先題意說明，從而有且，其次時，恒成立，因此的最小值大于0，這可由導數來研究，從而得出的范圍．

詳解：（1) ）當時，，，

所以有兩個極值點就是方程有兩個解，

即與的圖像的交點有兩個.

∵，當時，，單調遞增；當時，，單調遞減.有極大值

又因為時，；當時，.

當時與的圖像的交點有0個；

當或時與的圖像的交點有1個；

當時與的圖象的交點有2個；

綜上.

（2）函數在點處的切線與軸平行，所以且，因為，

所以且；

在時，其圖像的每一點處的切線的傾斜角均為銳角，

即當時，恒成立，即

，

令，∴

設，，因為，所以，∴，

∴在單調遞增，即在單調遞增，

∴，當且時，，

所以在單調遞增；

∴成立

當，因為在單調遞增，所以，，

所以存在有；

當時，，單調遞減，所以有，不恒成立；

所以實數的取值范圍為.