Question

4．已知函數(shù)$f（x）={e^x}+\frac{1}{e^x}$，則使得f（2x）＞f（x+3）成立的x的取值范圍是（-∞，-1）∪（3，+∞）．

Answer 1

分析 利用導數(shù)確定函數(shù)為單調性，再確定函數(shù)為偶函數(shù)，則f（2x）＞f（x+3）轉化為|2x|＞|x+3|，解得即可．

解答 解：∵f（x）=e^x+$\frac{1}{{e}^{x}}$，
∴f（-x）=f（x），
∴f（x）為偶函數(shù)，
∴f′（x）=e^x-$\frac{1}{{e}^{x}}$=$\frac{{e}^{2x}-1}{{e}^{x}}$=$\frac{（{e}^{x}+1）（{e}^{x}-1）}{{e}^{x}}$
當f′（x）＞0時，即x＞0時，函數(shù)f（x）單調遞增，
當f′（x）＜0時，即x＜0時，函數(shù)f（x）單調遞減，
∵f（2x）＞f（x+3），
∴|2x|＞|x+3|，
解得x＜-1或x＞3，
故x的取值范圍為：（-∞，-1）∪（3，+∞），
故答案為：（-∞，-1）∪（3，+∞）．

點評 本題主要考察函數(shù)的單調性，并根據(jù)單調性判斷函數(shù)的取值，屬于中檔題．