【題目】對于正整數(shù)，如果個整數(shù)滿足，

且，則稱數(shù)組為的一個“正整數(shù)分拆”.記均為偶數(shù)的“正整數(shù)分拆”的個數(shù)為均為奇數(shù)的“正整數(shù)分拆”的個數(shù)為.

(Ⅰ)寫出整數(shù)4的所有“正整數(shù)分拆”;

(Ⅱ)對于給定的整數(shù)，設(shè)是的一個“正整數(shù)分拆”，且，求的最大值;

(Ⅲ)對所有的正整數(shù)，證明:;并求出使得等號成立的的值.

(注:對于的兩個“正整數(shù)分拆”與，當(dāng)且僅當(dāng)且時，稱這兩個“正整數(shù)分拆”是相同的.)

【答案】(Ⅰ) ，，，，；(Ⅱ) 為偶數(shù)時，，為奇數(shù)時，；(Ⅲ)證明見解析，，

【解析】

(Ⅰ)根據(jù)題意直接寫出答案.

(Ⅱ)討論當(dāng)為偶數(shù)時，最大為，當(dāng)為奇數(shù)時，最大為，得到答案.

(Ⅲ) 討論當(dāng)為奇數(shù)時，，至少存在一個全為1的拆分，故，當(dāng)為偶數(shù)時，

根據(jù)對應(yīng)關(guān)系得到，再計算，，得到答案.

(Ⅰ)整數(shù)4的所有“正整數(shù)分拆”為：，，，，.

(Ⅱ)當(dāng)為偶數(shù)時，時，最大為；

當(dāng)為奇數(shù)時，時，最大為；

綜上所述：為偶數(shù)，最大為，為奇數(shù)時，最大為.

(Ⅲ)當(dāng)為奇數(shù)時，，至少存在一個全為1的拆分，故；

當(dāng)為偶數(shù)時，設(shè)是每個數(shù)均為偶數(shù)的“正整數(shù)分拆”，

則它至少對應(yīng)了和的均為奇數(shù)的“正整數(shù)分拆”，

故.

綜上所述：.

當(dāng)時，偶數(shù)“正整數(shù)分拆”為，奇數(shù)“正整數(shù)分拆”為，；

當(dāng)時，偶數(shù)“正整數(shù)分拆”為，，奇數(shù)“正整數(shù)分拆”為，

故；

當(dāng)時，對于偶數(shù)“正整數(shù)分拆”，除了各項不全為的奇數(shù)拆分外，至少多出一項各項均為的“正整數(shù)分拆”，故.

綜上所述：使成立的為：或.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某企業(yè)為了解該企業(yè)工人組裝某產(chǎn)品所用時間，對每個工人組裝一個該產(chǎn)品的用時作了記錄，得到大量統(tǒng)計數(shù)據(jù)．從這些統(tǒng)計數(shù)據(jù)中隨機抽取了個數(shù)據(jù)作為樣本，得到如圖所示的莖葉圖（單位：分鐘）．若用時不超過（分鐘），則稱這個工人為優(yōu)秀員工．

（1）求這個樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)和眾數(shù)；

（2）從樣本數(shù)據(jù)用時不超過分鐘的工人中隨機抽取個，求至少有一個工人是優(yōu)秀員工的概率．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，點，直線的參數(shù)方程為為參數(shù)），以坐標(biāo)原點為極點，以軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為．

（1）求曲線的直角坐標(biāo)方程；

（2）若直線與曲線相交于不同的兩點是線段的中點，當(dāng)時，求的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知圓，點，為平面內(nèi)一動點，以線段為直徑的圓內(nèi)切于圓，設(shè)動點的軌跡為曲線.

（1）求曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）已知過坐標(biāo)原點的直線交曲線于、兩點，若在曲線上存在點，使得，求的面積的最小值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，其中為常數(shù).

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）當(dāng)（為自然對數(shù)的底數(shù)），時，若方程有兩個不等實數(shù)根，求實數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）若曲線在處的切線與軸平行，求；

（2）已知在上的最大值不小于，求的取值范圍；

（3）寫出所有可能的零點個數(shù)及相應(yīng)的的取值范圍.（請直接寫出結(jié)論）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】自2017年起，全國各省市陸續(xù)實施了新高考，許多省市采用了“”的選科模式，即：考生除必考的語數(shù)外三科外，再從物理化學(xué)生物歷史地理政治六個學(xué)科中，任意選取三科參加高考，為了調(diào)查新高考中考生的選科情況，某地調(diào)查小組對某中學(xué)進行了一次調(diào)查，研究考生選擇化學(xué)與選擇物理是否有關(guān)．已知在調(diào)查數(shù)據(jù)中，選物理的考生與不選物理的考生人數(shù)相同，其中選物理且選化學(xué)的人數(shù)占選物理人數(shù)的，在不選物理的考生中，選化學(xué)與不選化學(xué)的人數(shù)比為．

（1）若在此次調(diào)查中，選物理未選化學(xué)的考生有100人，將選物理且選化學(xué)的人數(shù)占選化學(xué)總?cè)藬?shù)的比作為概率，從該中學(xué)選化學(xué)的考生中隨機抽取4人，記這4人中選物理且選擇化學(xué)的考生人數(shù)為，求的分布列(用排列數(shù)組合數(shù)表示即可)和數(shù)學(xué)期望．

（2）若研究得到在犯錯誤概率不超過0．01的前提下，認為選化學(xué)與選物理有關(guān)，則選物理且選化學(xué)的人數(shù)至少有多少？(單位：百人，精確到0．01)

附：，其中．

0．100

0．050

0．010

0．001

2．706

3．841

6．635

10．828

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f（x）＝（1+x）t﹣1的定義域為（﹣1，+∞），其中實數(shù)t滿足t≠0且t≠1.直線l：y＝g（x）是f（x）的圖象在x＝0處的切線.

（1）求l的方程：y＝g（x）；

（2）若f（x）≥g（x）恒成立，試確定t的取值范圍；

（3）若a1，a2∈（0，1），求證： .注：當(dāng)α為實數(shù)時，有求導(dǎo)公式（xα）′＝αxα﹣1.

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【題目】為了了解游客的情況，以便制定相應(yīng)的策略，在某月中隨機抽取甲、乙兩個景點各10天的游客數(shù)，畫出莖葉圖如圖：

（1）若景點甲中的數(shù)據(jù)的中位數(shù)是125，景點乙中的數(shù)據(jù)的平均數(shù)是124，求x，y的值；

（2）若將圖中景點甲中的數(shù)據(jù)作為該景點較長一段時期內(nèi)的樣本數(shù)據(jù).今從這段時期中任取4天，記其中游客數(shù)超過120人的天數(shù)為，求概率；

（3）現(xiàn)從如圖所示的共20天的數(shù)據(jù)中任取2天的數(shù)據(jù)（甲、乙兩景點中各取1天），記其中游客數(shù)不低于115且不高于125人的天數(shù)為，求的分布列和期望.

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