Question

15．已知f（log_ax）=$\frac{a}{{a}^{2}-1}$（x-$\frac{1}{x}$），（0＜a＜1）
（1）求f（x）的解析式；
（2）判斷并證明f（x）的奇偶性與單調(diào)性；
（3）若不等式f（3t²-1）+f（4t-k）＞0對(duì)任意t∈[1，3]都成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用換元法求函數(shù)解析式；
（2）直接利用函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的定義證明；
（3）由函數(shù)的性質(zhì)把不等式轉(zhuǎn)化為3t²-1＞-4t+k對(duì)任意t∈[1，3]都成立，分離參數(shù)k，再由配方法求出二次函數(shù)的最值得答案．

解答 解：（1）令log_ax=t，則x=a^t，
由f（log_ax）=$\frac{a}{{a}^{2}-1}$（x-$\frac{1}{x}$），得$f（t）=\frac{a}{{a}^{2}-1}（{a}^{t}-{a}^{-t}）$，
∴$f（x）=\frac{a}{{a}^{2}-1}（{a}^{x}-{a}^{-x}）$；
（2）函數(shù)f（x）為奇函數(shù)且為R上的單調(diào)增函數(shù)．
證明如下：
∵f（x）的定義域?yàn)镽，且$f（-x）=\frac{a}{{a}^{2}-1}（{a}^{-x}-{a}^{x}）=-\frac{a}{{a}^{2}-1}（{a}^{x}-{a}^{-x}）=-f（x）$，
∴f（x）為奇函數(shù)．
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，a²-1＜0，∴$\frac{a}{{a}^{2}-1}＜0$，任取x₁，x₂∈（-∞，+∞），且x₁＜x₂，則${a}^{{x}_{1}}$＞${a}^{{x}_{2}}$，
$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）=\frac{a}{{a}^{2}-1}（{a}^{{x}_{1}}-{a}^{{x}_{2}}+{a}^{-{x}_{2}}-{a}^{-{x}_{1}}）$=$\frac{a}{{a}^{2}-1}（{a}^{{x}_{1}}-{a}^{{x}_{2}}）（1+\frac{1}{{a}^{{x}_{1}}•{a}^{{x}_{2}}}）$＜0．
∴f（x₁）＜f（x₂），又x₁＜x₂，
∴f（x）為實(shí)數(shù)集上的單調(diào)增函數(shù)；
（3）不等式f（3t²-1）+f（4t-k）＞0對(duì)任意t∈[1，3]都成立，
即不等式f（3t²-1）＞f（-4t+k）對(duì)任意t∈[1，3]都成立，
即3t²-1＞-4t+k對(duì)任意t∈[1，3]都成立，
也就是3t²+4t-1＞k對(duì)任意t∈[1，3]都成立，
∵$3{t}^{2}+4t-1=3（{t}^{2}+\frac{4}{3}t）-1=3（t+\frac{2}{3}）^{2}-\frac{7}{3}$在[1，3]上的最小值為6，
∴k＜6．
∴實(shí)數(shù)k的取值范圍為（-∞，6）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查恒成立問題，考查了函數(shù)單調(diào)性與奇偶性的性質(zhì)，訓(xùn)練了分離參數(shù)法求字母的取值范圍，是中檔題．