16.在數(shù)列{an}中,a1=$\frac{1}{3}$,且$\frac{{a}_{1}+{a}_{2}+…+{a}_{n}}{2n-1}$=nan(n∈N+).
(1)寫出此數(shù)列的前4項;
(2)歸納猜想{an}的通項公式,并用數(shù)學歸納法加以證明.

分析 (1)根據(jù)遞推式,依次令n=2,3,4計算a2,a3,a4;
(2)根據(jù)前4相猜想通項公式,驗證n=1時猜想成立,假設(shè)n=k時猜想成立,根據(jù)條件推導(dǎo)ak+1得出結(jié)論.

解答 解:(1)a1=$\frac{1}{3}$,a2=$\frac{1}{15}$,a3=$\frac{1}{35}$,a4=$\frac{1}{63}$.
(2)猜想:an=$\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}$.
證明:①當n=1時,猜想顯然成立.
②假設(shè)n=k時猜想成立,即ak=$\frac{1}{(2k-1)(2k+1)}$.
∵$\frac{{a}_{1}+{a}_{2}+…+{a}_{n}}{2n-1}$=nan,∴$\frac{{a}_{1}+{a}_{2}+…+{a}_{n}}{n}$=(2n-1)an
∴$\frac{{a}_{1}+{a}_{2}+…+{a}_{k}+{a}_{k+1}}{k+1}=(2k+1){a}_{k+1}$,
∴a1+a2+…+ak=(2k2+3k)ak+1,
又a1+a2+…+ak=(2k2-k)ak=$\frac{k}{2k+1}$,
∴ak+1=$\frac{{a}_{1}+{a}_{2}+…+{a}_{k}}{2{k}^{2}+3k}$=$\frac{1}{(2k+1)(2k+3)}$,
∴當n=k+1時,猜想成立.
由①②可知,對一切n∈N+,都有an=$\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}$.

點評 本題考查了數(shù)列的通項公式,數(shù)學歸納法的證明,屬于中檔題.

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