Question

16．在數(shù)列{a_n}中，a₁=$\frac{1}{3}$，且$\frac{{a}_{1}+{a}_{2}+…+{a}_{n}}{2n-1}$=na_n（n∈N₊）．
（1）寫出此數(shù)列的前4項；
（2）歸納猜想{a_n}的通項公式，并用數(shù)學歸納法加以證明．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)遞推式，依次令n=2，3，4計算a₂，a₃，a₄；
（2）根據(jù)前4相猜想通項公式，驗證n=1時猜想成立，假設(shè)n=k時猜想成立，根據(jù)條件推導(dǎo)a_k+1得出結(jié)論．

解答 解：（1）a₁=$\frac{1}{3}$，a₂=$\frac{1}{15}$，a₃=$\frac{1}{35}$，a₄=$\frac{1}{63}$．
（2）猜想：a_n=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$．
證明：①當n=1時，猜想顯然成立．
②假設(shè)n=k時猜想成立，即a_k=$\frac{1}{（2k-1）（2k+1）}$．
∵$\frac{{a}_{1}+{a}_{2}+…+{a}_{n}}{2n-1}$=na_n，∴$\frac{{a}_{1}+{a}_{2}+…+{a}_{n}}{n}$=（2n-1）a_n．
∴$\frac{{a}_{1}+{a}_{2}+…+{a}_{k}+{a}_{k+1}}{k+1}=（2k+1）{a}_{k+1}$，
∴a₁+a₂+…+a_k=（2k²+3k）a_k+1，
又a₁+a₂+…+a_k=（2k²-k）a_k=$\frac{k}{2k+1}$，
∴a_k+1=$\frac{{a}_{1}+{a}_{2}+…+{a}_{k}}{2{k}^{2}+3k}$=$\frac{1}{（2k+1）（2k+3）}$，
∴當n=k+1時，猜想成立．
由①②可知，對一切n∈N₊，都有a_n=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$．

點評 本題考查了數(shù)列的通項公式，數(shù)學歸納法的證明，屬于中檔題．