Question

設函數(shù)f（x）=x²+alnx，則（　　）

• A、f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[

  - a 2

  ，+∞）
• B、f（x）＞0對任意x∈（0，+∞）恒成立
• C、f（x）的圖象與x軸至多一個交點
• D、若f（x）有極值點x₁，則f（x₁）≤1

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：綜合題,導數(shù)的綜合應用

分析：a＞0時可求f（x）的單調(diào)區(qū)間是（0，+∞），排除A；取a=1，可得f（

1

e

）＜0，排除B；當a＜0時，求出極小值，當極小值小于0時f（x）的圖象與x軸有兩個交點，排除C．

解答： 解：f′（x）=2x+

a

x

=

2x2+a

x

，
當a＞0時，f′（x）＞0恒成立，f（x）在（0，+∞）上恒成立，排除A；
取a=1，f（

1

e

）=

1

e2

+ln

1

e

=

1

e2

-1＜0，排除B；
當a＜0時，f′（x）=

2(x+ - a 2 )(x- - a 2 )

x

，
當0＜x＜

- a 2

時，f′（x）＜0，當x＞

- a 2

時，f′（x）＞0，
∴x=-

- a 2

時f（x）取得極小值f（-

- a 2

）=-

a

2

+aln(

- a 2

)=-

a

2

+

a

2

ln（-

a

2

），
當f（-

- a 2

）＜0，即a＜-2e時，f（x）的圖象與x軸有兩個交點，排除C；
故選D．

點評：該題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的極值、單調(diào)性及函數(shù)的零點，考查學生利用導數(shù)解決綜合問題的能力．