Question

5．已知函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x＞0時，f（x）=2^x-3．
（1）求f（3）+f（-1）的值；
（2）求f（x）在R上的解析式；
（3）畫出函數(shù)f（x）的圖象，并寫出函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）計算f（3），f（1），再根據(jù)奇偶性得出f（-1）即可計算；
（2）根據(jù)f（x）=-f（-x）得出f（x）在（-∞，0]上的解析式，從而得出f（x）在定義域上的解析式；
（3）根據(jù)圖象得出f（x）的單調(diào)增區(qū)間．

解答 解：（1）f（3）=2³-3=5，f（1）=2-3=-1，
∵f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，∴f（-1）=-f（1）=1，
∴f（3）+f（-1）=5+1=6．
（2）當(dāng)x＜0，-x＞0，則f（-x）=2^-x-3，
∴f（x）=-f（-x）=3-2^-x，
又f（x）是R上的奇函數(shù)，∴f（0）=0，
∴f（x）在R上的解析式為$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{2^x}-3，x＞0\\ 0，x=0\\ 3-{2^{-x}}，x＜0\end{array}\right.$．
（3）圖象如圖所示．

由圖可得，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，0）和（0，+∞）．

點評 本題考查了函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，函數(shù)解析式的求解，屬于中檔題．