Question

【題目】如圖，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D是AC的中點，A1D⊥平面ABC，AB=BC，平面BB1D與棱A1C1交于點E．

（1）求證：AC⊥A1B；

（2）求證：平面BB1D⊥平面AA1C1C；

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【解析】

（Ⅰ）推導出A1D⊥AC，BD⊥AC，從而AC⊥平面A1BD，由此能證明AC⊥A1B．

（Ⅱ）推導出A1D⊥BD，BD⊥AC，從而BD⊥平面A1ACC1，由此能證明平面BB1D⊥平面AA1C1C．

證明：（1）因為 A1D⊥平面ABC，所以 A1D⊥AC．

因為△ABC中，AB=BC，D是AC的中點，所以 BD⊥AC．

因為 A1D∩BD=D，

所以 AC⊥平面A1BD．

所以 AC⊥A1B．

（2） 因為 A1D⊥平面ABC，

因為 BD平面ABC，所以 A1D⊥BD．

由（1）知 BD⊥AC．

因為 AC∩A1D=D，

所以 BD⊥平面A1ACC1．

因為 BD平面BB1D，

所以 平面BB1D⊥平面AA1C1C．