Question

10．已知拋物線C₁：y²=8ax（a＞0），直線l傾斜角是45°且過拋物線C₁的焦點，直線l被拋物線C₁截得的線段長是16，雙曲線C₂：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1的一個焦點在拋物線C₁的準線上，則直線l與y軸的交點P到雙曲線C₂的一條漸近線的距離是（　�。�

• A． 2
• B． $\sqrt{3}$
• C． $\sqrt{2}$
• D． 1

Answer 1

分析 利用弦長，求出拋物線中的a，可得雙曲線中的c，再利用點到直線的距離公式，即可得出結論．

解答 解：由題意，設直線方程為y=x-2a，
代入y²=8ax，整理可得x²-12ax+4a²=0，
∵直線l被拋物線C₁截得的線段長是16，
∴$\sqrt{1+1}•\sqrt{144{a}^{2}-16{a}^{2}}$=16，
∵a＞0，∴a=1．
∴拋物線C₁的準線為x=-2，
∵雙曲線C₂：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1的一個焦點在拋物線C₁的準線上，
∴c=2，b=$\sqrt{3}$
直線l與y軸的交點P（0，-2）到漸近線bx-ay=0的距離d=$\frac{|2a|}{\sqrt{^{2}+{a}^{2}}}$=1，
故選D．

點評 本題考查拋物線、雙曲線的方程與性質，考查點到直線距離公式的運用，考查學生的計算能力，屬于中檔題．