Question

20．已知F₁、F₂分別為雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點，點P為雙曲線右支上一點，M為△PF₁F₂的內(nèi)心，滿足S${\;}_{△MP{F}_{1}}$=S_△${\;}_{MP{F}_{2}}$+λS${\;}_{△M{F}_{1}{F}_{2}}$若該雙曲線的離心率為3，則λ=$\frac{1}{3}$
（注：S${\;}_{△MP{F}_{1}}$、S_△${\;}_{MP{F}_{2}}$、S${\;}_{△M{F}_{1}{F}_{2}}$分別為△MPF₁、△MPF₂、△MF₁F₂的面積）

Answer 1

分析 設△PF₁F₂的內(nèi)切圓的半徑r，運用三角形的面積公式和雙曲線的定義，以及離心率公式，化簡整理即可得到所求值．

解答 解：設△PF₁F₂的內(nèi)切圓的半徑r，
由滿足S${\;}_{△MP{F}_{1}}$=S_△${\;}_{MP{F}_{2}}$+λS${\;}_{△M{F}_{1}{F}_{2}}$，可得
$\frac{1}{2}$r•|PF₁|=$\frac{1}{2}$r•|PF₂|+λ•$\frac{1}{2}$r•|F₂F₁|，
即為|PF₁|=|PF₂|+λ•|F₂F₁|，
即為|PF₁|-|PF₂|=λ•|F₂F₁|，
由點P為雙曲線右支上一點，
由定義可得2a=λ•2c，
即a=λc，
由e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{λ}$=3，
解得λ=$\frac{1}{3}$．
故答案為：$\frac{1}{3}$．

點評 本題考查雙曲線的定義、方程和性質(zhì)，考查三角形的面積公式的運用，注意運用定義法解題，以及離心率公式，考查運算能力，屬于中檔題．