Question

8．已知x，y滿足約束條件$\left\{\begin{array}{l}{x+y-2≤0}\\{x-2y-2≤0}\\{2x-y+2≥0}\end{array}\right.$，若2x+y+k≥0恒成立，則直線2x+y+k=0被圓（x-1）²+（y-2）²=25截得的弦長(zhǎng)的最大值為（　　）

• A． 10
• B． 2$\sqrt{5}$
• C． 4$\sqrt{5}$
• D． 3$\sqrt{5}$

Answer 1

分析 由約束條件作出可行域，求出2x+y的最小值，結(jié)合2x+y+k≥0恒成立求得k的范圍，再由直線與圓的關(guān)系可得當(dāng)k=6時(shí)，直線2x+y+k=0被圓（x-1）²+（y-2）²=25截得的弦長(zhǎng)最大，從而求得最大值．

解答 解：由約束條件$\left\{\begin{array}{l}{x+y-2≤0}\\{x-2y-2≤0}\\{2x-y+2≥0}\end{array}\right.$作出可行域如圖，

聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{2x-y+2=0}\\{x-2y-2=0}\end{array}\right.$，解得A（-2，-2），
令z=2x+y，化為y=-2x+z，由圖可知，當(dāng)直線y=-2x+z過(guò)A時(shí)，直線在y軸上的截距最小，z有最小值為-6．
由2x+y+k≥0恒成立，得-k≤2x+y恒成立，即-k≤-6，則k≥6．
圓（x-1）²+（y-2）²=25的圓心（1，2）到直線2x+y+k=0的距離d=$\frac{|4+k|}{\sqrt{5}}$，當(dāng)k≥6時(shí)，d$≥2\sqrt{5}$．
∴當(dāng)d=$2\sqrt{5}$時(shí)，直線2x+y+k=0被圓（x-1）²+（y-2）²=25截得的弦長(zhǎng)最大，為2$\sqrt{{5}^{2}-（2\sqrt{5}）^{2}}=2\sqrt{5}$．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法和數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題．