Question

9．已知函數(shù)f（x）=ax²+bx+xlnx在（1，f（1）））處的切線方程為3x-y-2=0
（Ⅰ）求實(shí)數(shù)a、b的值
（Ⅱ）設(shè)g（x）=x²-x，若k∈Z，且k（x-2）＜f（x）-g（x）對(duì)任意的x＞2恒成立，求k的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，得到關(guān)于a，b的方程組，解出即可；
（Ⅱ）問(wèn)題轉(zhuǎn)化為k＜$\frac{f（x）-g（x）}{x-2}$=$\frac{x+xlnx}{x-2}$對(duì)任意x＞2恒成立，設(shè)h（x）=$\frac{x+xlnx}{x-2}$（x＞2），根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出k的最大值即可．

解答 解：（Ⅰ）f′（x）=2ax+b+lnx，
故2a+b+1=3且a+b=1，解得：a=1，b=0；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：k＜$\frac{f（x）-g（x）}{x-2}$=$\frac{x+xlnx}{x-2}$對(duì)任意x＞2恒成立，
設(shè)h（x）=$\frac{x+xlnx}{x-2}$（x＞2），則h′（x）=$\frac{x-4-2lnx}{{（x-2）}^{2}}$，
令m（x）=x-4-2lnx，（x＞2），則m′（x）=1-$\frac{2}{x}$=$\frac{x-2}{x}$＞0，
故函數(shù)m（x）為（2，+∞）上的增函數(shù)，
∵m（8）=4-2ln8＜0，m（10）=6-2ln10＞0，
故m（x）在（8，10）上有唯一零點(diǎn)x₀，即x₀-4-2lnx₀=0成立，
故x₀-4-2lnx₀=0，
當(dāng)2＜x＜x₀時(shí)，m（x）＜0，即h′（x）＜0，
x₀＜x時(shí)，m（x）＞0，即h′（x）＞0，
故h（x）在（1，x₀）遞減，在（x₀，+∞）遞增，
故h（x）_min=h（x₀）=$\frac{{x}_{0}（1+\frac{{x}_{0}-4}{2}）}{{x}_{0}-1}$=$\frac{{x}_{0}}{2}$，
故k＜$\frac{{x}_{0}}{2}$，∵x₀∈（8，10），∴$\frac{{x}_{0}}{2}$∈（4，5），
∵k∈Z，
故k的最大值是4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線方程問(wèn)題，考查函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．