用向量方法證明：已知四面體ABCD，若AB⊥CD，AD⊥BC，則AC⊥BD．
考點：向量在幾何中的應用,向量的數(shù)量積判斷向量的共線與垂直
專題：空間向量及應用
分析：利用向量表示
AC
，
BD
，結(jié)合已知條件，利用向量的數(shù)量積為0證明即可．
解答： 證明：設
AB
=
a
，
AD
=
b
，
AC
=
c
，
四面體ABCD，若AB⊥CD，AD⊥BC，
AC
=
AB
+
BC
，
BD
=
BA
+
AD
，
∵AB⊥CD∴
AB
•
CD
=0，即
AB
•（
AD
-
AC
）=0
∴
a
•(
c
-
b
)=0，
a
•
c
=
a
•
b
 ①
∵AD⊥BC 可知
AD
•
BC
=0，
∴
AD
•
BC
=0，即
AD
•(
AC
-
AB
)=0∴
b
•(
c
-
a
)=0，即
b
•
c
=
b
•
a
 ②
由②、①得，
a
•
c
=
c
•
b
，即(
a
-
b
)•
c
=0，
∴(
AD
-
AB
)•
AC
=0，
即：
AC
•
BD
=0，即AC⊥BD．
點評：本題考查空間向量數(shù)量積的應用，數(shù)量積證明直線的垂直，考查計算能力．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，多面體ABCDEF中，底面ABCD是菱形，∠BCD=60°，四邊形BDEF是正方形且DE⊥平面ABCD．
（Ⅰ）求證：CF∥平面ADE；
（Ⅱ）若AE=
2
，求多面體ABCDEF的體積V．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

某工廠的某種型號的機器的使用年限x和所支出的維修費用y（萬元）的統(tǒng)計資料如表：
x681012
y2356
根據(jù)上表數(shù)據(jù)可得y與x之間的線性回歸方程
∧
y
=0.7x+
∧
a
，據(jù)此模型估計，該機器使用年限為14年時的維修費用約為
 
萬元．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

平面向量
a
，
b
滿足|
a
|=2，|
a
+
b
|=4，且向量
a
與向量
a
+
b
的夾角為
π
3
，則|
b
|為（　　）
A、2
B、2
3
C、2
5
D、2
5-2
3

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設sinβ=sinαcos（α+β），α，β∈（0，
π
2
），α+β≠
π
2
，當tanβ取得最大值時tan（α+β）的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

f（x）=cos（2x-
π
3
）+2sin（x-
π
4
）sin（x+
π
4
）=
 
，單調(diào)遞增區(qū)間：
 
．單調(diào)遞減區(qū)間；
 
；當x=
 
，y最大值：
 
；當x=
 
，y最小值：
 
；對稱中心：
 
；對稱軸：
 
；最小正周期：
 
；函數(shù)f（x）在區(qū)間[-
π
12
，
π
2
]上的值域是：
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知在Rt△ABC中，其中∠A為直角，向量
OA
=
i
+
j
，
OB
=2
i
+3
j
，
OC
=（2m+1）
i
+（m-3）
j
，其中
i
，
j
是互相垂直的兩個單位向量．
（1）求實數(shù)m的值；
（2）過A作AE⊥BC于E，延長AE至D，使四邊形ABDC為直角梯形（其中AC、BD為底邊），用
i
，
j
表示
OD
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知a1=4，an+1=
n+2
n
an，求an．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知曲線y=2ax2+1過點（
a
，3），則該曲線在該點處的切線方程為（　�。�
A、y=-4x-1
B、y=4x-1
C、y=4x-11
D、y=-4x+7

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