Question

18．各項都是正數(shù)的等比數(shù)列{a_n}中，3a₁，$\frac{1}{2}$a₃，2a₂成等差數(shù)列，則$\frac{{a}_{10}+{a}_{12}+{a}_{15}+{a}_{19}+{a}_{20}+{a}_{23}}{{a}_{8}+{a}_{10}+{a}_{13}+{a}_{17}+{a}_{18}+{a}_{21}}$=9．

Answer 1

分析 設(shè)等比數(shù)列的公比為q，由等差數(shù)列的中項的性質(zhì)和等比數(shù)列的通項公式，化簡整理即可得到所求值．

解答 解：設(shè)各項都是正數(shù)，且公比為q的等比數(shù)列{a_n}中，
3a₁，$\frac{1}{2}$a₃，2a₂成等差數(shù)列，
可得a₃=3a₁+2a₂，
即為a₁q²=3a₁+2a₁q，
即q²-2q-3=0，解得q=3或q=-1（舍去），
則a_n=a₁3^n-1，
則$\frac{{a}_{10}+{a}_{12}+{a}_{15}+{a}_{19}+{a}_{20}+{a}_{23}}{{a}_{8}+{a}_{10}+{a}_{13}+{a}_{17}+{a}_{18}+{a}_{21}}$=$\frac{{a}_{10}（1+{q}^{2}+{q}^{5}+{q}^{9}+{q}^{10}+{q}^{13}）}{{a}_{8}（1+{q}^{2}+{q}^{5}+{q}^{9}+{q}^{10}+{q}^{13}）}$
=$\frac{{a}_{10}}{{a}_{8}}$=q²=9．
故答案為：9．

點(diǎn)評 本題考查等比數(shù)列的通項公式的運(yùn)用，同時考查等差數(shù)列中項的性質(zhì)，考查化簡整理的運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．