Question

16．拋物線x²=2py（p＞0）上一 點A（$\sqrt{3}$，m）（m＞1）到拋物線準(zhǔn)線的距離為$\frac{13}{4}$，點A關(guān)于y軸的對稱點為B，O為坐標(biāo)原點，△OAB的內(nèi)切圓與OA切于點E，點F為內(nèi)切圓上任意一點，則$\overrightarrow{OE}•\overrightarrow{OF}$的取值范圍為$[3-\sqrt{3}，3+\sqrt{3}]$．

Answer 1

分析 利用點$A（\sqrt{3}，\;\;m）$在拋物線上，求出m，點A到準(zhǔn)線的距離為$\frac{3}{2p}+\frac{p}{2}=\frac{13}{4}$，求出p，即可解出拋物線方程，設(shè)點F（cosθ，2+sinθ）（θ為參數(shù)），化簡數(shù)量積，求解范圍即可．

解答 解：因為點$A（\sqrt{3}，\;\;m）$在拋物線上，所以$3=2pm⇒m=\frac{3}{2p}$，點A到準(zhǔn)線的距離為$\frac{3}{2p}+\frac{p}{2}=\frac{13}{4}$，
解得$p=\frac{1}{2}$或p=6．當(dāng)p=6時，$m=\frac{1}{4}＜1$，故p=6舍去，所以拋物線方程為x²=y，∴$A（\sqrt{3}，\;\;3），\;\;B（-\sqrt{3}，\;\;3）$，所以△OAB是正三角形，邊長為$2\sqrt{3}$，其內(nèi)切圓方程為x²+（y-2）²=1，如圖4，∴$E（{\frac{{\sqrt{3}}}{2}，\;\;\frac{3}{2}}）$．設(shè)點F（cosθ，2+sinθ）（θ為參數(shù)），則$\overrightarrow{OE}\;•\;\overrightarrow{OF}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}cosθ+3+\frac{3}{2}sinθ=3+\sqrt{3}sin（{θ+\frac{π}{6}}）$，
∴$\overrightarrow{OE}\;•\;\overrightarrow{OF}∈[3-\sqrt{3}，\;\;3+\sqrt{3}]$．

故答案為：$[3-\sqrt{3}，3+\sqrt{3}]$．

點評 本題考查拋物線的簡單性質(zhì)，直線與拋物線的位置關(guān)系圓的方程的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力．