Question

16．已知點P是拋物線y²=4x上的動點，點P在y軸上的射影是M，A（4，4$\sqrt{10}}$），則|PA|+|PM|的最小值是12．

Answer 1

分析 先根據(jù)拋物線的方程求得焦點坐標和準線方程，延長PM交準線于H點推斷出|PA|=|PH|，進而表示出|PM|，問題轉化為求PF|+|PA|的最小值，由三角形兩邊長大于第三邊可知，|PF|+|PA|≥|FA|，當且僅當A，P，F(xiàn)共線時，|PF|+|PA|可取得最小值，進而求得|FA|，則|PA|+|PM|的最小值可得．

解答 解：依題意可知焦點F（1，0），準線 x=-1，延長PM交準線于H點．則|PF|=|PH|．
|PM|=|PH|-1=|PF|-1，
|PM|+|PA|=|PF|+|PA|-1，我們只有求出|PF|+|PA|最小值即可．
由三角形兩邊長大于第三邊可知，|PF|+|PA|≥|FA|，
當且僅當A，P，F(xiàn)共線時，|PF|+|PA|可取得最小值，可得|FA|=$\sqrt{9+160}$=13．
則所求為|PM|+|PA|=13-1=12．
故答案為：12．

點評 本題主要考查了拋物線的簡單性質．考查了考生分析問題的能力，數(shù)形結合的思想的運用．