Question

5．已知F₁（-4，0），F(xiàn)₂（4，0），點(diǎn)M為OF₂：（x-4）²+y²=100上任意一點(diǎn)，F(xiàn)₁M的垂直平分線交MF₂于點(diǎn)P．
（1）求P點(diǎn)的軌跡方程；
（2）設(shè)P到F₁、F₂的距離分別為d₁、d₂，求2d₁²+d₂²的最值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)橢圓的定義，可知P點(diǎn)的軌跡是以F₁，F(xiàn)₂為焦點(diǎn)為焦點(diǎn)的橢圓上，設(shè)橢圓方程，由2a=10，2c=8，b²=a²-c²=9，即可求得P點(diǎn)的軌跡方程；
（2）根據(jù)橢圓的焦半徑公式，丨PF₁丨=a+ex，丨PF₂丨=a-ex，代入根據(jù)二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)即可求得2d₁²+d₂²的最值．

解答 解：（1）根據(jù)題意，圓：（x-4）²+y²=100，F(xiàn)₁（-4，0），F(xiàn)₂（4，0），F(xiàn)₁M的垂直平分線交MF₂于點(diǎn)P，
則丨PF₁丨+丨PF₂丨=10，丨PM丨=丨PF₂丨，
丨PF₁丨+丨PF₂丨=10＞丨F₁F₂丨=8，
∴P點(diǎn)落在以F₁，F(xiàn)₂為焦點(diǎn)為焦點(diǎn)的橢圓上，
設(shè)橢圓方程為：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$（a＞b＞0），
∴2a=10，2c=8，a=5，c=4，
b²=a²-c²=9，
∴P點(diǎn)的軌跡方程為$\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{{y}^{2}}{9}=1$；
（2）根據(jù)橢圓的定義可知，設(shè)點(diǎn)P（x，y），則丨PF₁丨=a+ex，丨PF₂丨=a-ex，
則2d₁²+d₂²=2（a+ex）²+（a-ex）²=$\frac{48}{25}$（x+$\frac{25}{12}$）2+$\frac{200}{9}$（-5≤x≤5），
當(dāng)x=-$\frac{25}{12}$時(shí)，取得最小值$\frac{200}{9}$；
當(dāng)x=5 時(shí)，則取得最大值：163．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，焦半徑公式，二次函數(shù)圖象及性質(zhì)，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．