Question

12．已知函數(shù)f（x）=kx³-3（k+1）x²-k²+1（k＞0），若f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（0，4）．
（1）求k的值；
（2）當x＞k時，求證：2$\sqrt{x}$＞3-$\frac{1}{x}$．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導數(shù)，令f'（x）＜0，求出函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間，而f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（0，4），它們是同一區(qū)間，建立等式關系，即可求出k的值；
（2）求出k的值，令g（x）=2$\sqrt{x}$+$\frac{1}{x}$-3，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可．

解答 解：（1）f'（x）=3kx²-6（k+1）x=0（k＞0），
解得：x=0或 $\frac{2k+2}{k}$而 $\frac{2k+2}{k}$＞2，
令f'（x）=3kx²-6（k+1）x＜0，解得x∈（0，$\frac{2k+2}{k}$）
∴f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（0，$\frac{2k+2}{k}$）
根據(jù)題意可知（0，4）=（0，$\frac{2k+2}{k}$），
即 $\frac{2k+2}{k}$=4，解得k=1，
所以k的值為1；
（2）由（1）得：x＞1時，證明：2$\sqrt{x}$＞3-$\frac{1}{x}$．
令g（x）=2$\sqrt{x}$+$\frac{1}{x}$-3，g′（x）=$\frac{1}{\sqrt{x}}$-$\frac{1}{{x}^{2}}$＞0，
∴g（x）在（1，+∞）遞增，
∴g（x）＞g（1）=0，
故x＞1時，2$\sqrt{x}$＞3-$\frac{1}{x}$．

點評 本題主要考查導函數(shù)的正負與原函數(shù)的單調(diào)性之間的關系，即當導函數(shù)大于0時原函數(shù)單調(diào)遞增，當導函數(shù)小于0時原函數(shù)單調(diào)遞減，同時考查了分析與解決問題的綜合能力，考查不等式的證明，是一道中檔題．