Question

1．若函數f（x）=x²+aln（x+1）在（-1，+∞）上是增函數，則a的取值范圍是（　�。�

• A． [0，+∞）
• B． （0，+∞）
• C． （$\frac{1}{2}$，+∞）
• D． [$\frac{1}{2}$，+∞）

Answer 1

分析 求出函數的導數，問題轉化為a≥-2x²-2x在（-1，+∞）恒成立，令g（x）=-2x²-2x，（x＞-1），根據函數的單調性求出a的范圍即可．

解答 解：f′（x）=2x+$\frac{a}{x+1}$=$\frac{{2x}^{2}+2x+a}{x+1}$，
若函數f（x）=x²+aln（x+1）在（-1，+∞）上是增函數，
則2x²+2x+a≥0在（-1，+∞）恒成立，
即a≥-2x²-2x在（-1，+∞）恒成立，
令g（x）=-2x²-2x，（x＞-1），
g（x）在（-1，-$\frac{1}{2}$）遞增，在（-$\frac{1}{2}$，+∞）遞減，
故g（x）的最大值是g（-$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{2}$，
故a≥$\frac{1}{2}$，
故選：D．

點評 本題考查了函數的單調性、最值問題，考查導數的應用以及函數恒成立問題，是一道中檔題．