Question

18．已知數列{a_n}中，a₁=2，a_n-a_n-1=2n，（n≥2，n∈N^*）．
（Ⅰ）寫出a₂，a₃的值，并求出{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設b_n=$\frac{1}{{a}_{n+1}}$+$\frac{1}{{a}_{n+2}}$+$\frac{1}{{a}_{n+3}}$+…+$\frac{1}{{a}_{2n+1}}$，且b_n≤m恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知直接求出a₂，a₃的值，并由累加法求出{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）把數列通項公式代入b_n=$\frac{1}{{a}_{n+1}}$+$\frac{1}{{a}_{n+2}}$+$\frac{1}{{a}_{n+3}}$+…+$\frac{1}{{a}_{2n+1}}$，利用裂項相消法化簡，求出最大值，可得b_n≤m恒成立時實數m的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）∵a₁=2，a_n-a_n-1=2n，∴a₂=6，a₃=12．
當n≥2時，a_n-a_n-1=2n，a_n-1-a_n-2=2（n-1），…，a₃-a₂=2×3，a₂-a₁=2×2，
累加可得：a_n-a₁=2[n+（n-1）+…+3+2]，
∴${a}_{n}=2[n+（n-1）+…+2+1]=2×\frac{n（n+1）}{2}=n（n+1）$．
當n=1時，a₁=2滿足上式，
∴a_n=n（n+1）；
（Ⅱ）b_n=$\frac{1}{{a}_{n+1}}$+$\frac{1}{{a}_{n+2}}$+$\frac{1}{{a}_{n+3}}$+…+$\frac{1}{{a}_{2n+1}}$
=$\frac{1}{（n+1）（n+2）}+\frac{1}{（n+2）（n+3）}+…+$$\frac{1}{（2n+1）（2n+2）}$
=$\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}+\frac{1}{n+2}-\frac{1}{n+3}+…+\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+2}$
=$\frac{1}{n+1}-\frac{1}{2n+2}=\frac{1}{2（n+1）}$．
即當n=1時，$（_{n}）_{max}=\frac{1}{4}$．
∴若b_n≤m恒成立，則實數m的取值范圍為[$\frac{1}{4}，+∞$）．

點評 本題考查數列遞推式，訓練了累加法求數列的通項公式，考查裂項相消法求數列的前n項和，是中檔題．