Question

6．古代數學家楊輝在沈括的隙積數的基礎上想到：若由大小相等的圓球剁成類似于正四棱臺的方垛，上底由a×a個球組成，楊輝給出求方垛中圓球總數的公式如下：S=$\frac{n}{3}$（a²+b²+ab+$\frac{b-a}{2}$），根據以上材料，我們可得1²+2²+…+n²=$\frac{n（n+1）（2n+1）}{6}$．

Answer 1

分析 由題意，在S=$\frac{n}{3}$（a²+b²+ab+$\frac{b-a}{2}$）中，則1²+2²+…+n²表示最下層為n，最上層1，則令a=1，b=n，代入即可求出對應的結果．

解答 解：由題意，在S=$\frac{n}{3}$（a²+b²+ab+$\frac{b-a}{2}$）中，
令a=1，b=n，
則S=$\frac{n}{3}$（1²+n²+1•n+$\frac{n-1}{2}$）
=$\frac{n}{6}$（n+1）（2n+1）
=1²+2²+…+n²．
故答案為：$\frac{n（n+1）（2n+1）}{6}$．

點評 本題考查了類比推理的應用問題，數列的前n項和，屬于基礎題目．