Question

9．極坐標(biāo)系的極點(diǎn)為直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸，兩坐標(biāo)系中的單位長度相同，已知曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=2（sinθ+cosθ）．
（Ⅰ）求C的直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）直線$l：\;\left\{\begin{array}{l}x=-\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=1+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}\right.$（t為參數(shù)）與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于E，求|EA|+|EB|的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）將極坐標(biāo)方程兩邊同乘ρ，進(jìn)而根據(jù)ρ²=x²+y²，x=ρcosθ，y=ρsinθ，可求出C的直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）將直線l的參數(shù)方程，代入曲線C的直角坐標(biāo)方程，求出對(duì)應(yīng)的t值，根據(jù)參數(shù)t的幾何意義，求出|EA|+|EB|的值．

解答 解：（Ⅰ）由ρ=2（sinθ+cosθ），兩邊同時(shí)乘以ρ，
得ρ²=2ρsinθ+2ρcosθ，因?yàn)棣?SUP>2=x²+y²，ρsinθ=y，ρcosθ=x，
所以曲線C的直角坐標(biāo)方程為：x²+y²=2y+2x，
整理得（x-1）²+（y-1）²=2…5分
（Ⅱ）將直線的參數(shù)方程$\left\{\begin{array}{l}x=-\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=1+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}\right.$代入圓的方程，
整理得${t^2}+\sqrt{2}t-1=0$，由韋達(dá)定理可得：${t_1}+{t_2}=-\sqrt{2}，{t_1}{t_2}=-1$，
由直線的參數(shù)方程的幾何意義，
得：$\left|{EA}\right|+\left|{EB}\right|=\left|{t_1}\right|+\left|{t_2}\right|=\left|{{t_1}-{t_2}}\right|=\sqrt{{{（{t_1}+{t_2}）}^2}-4{t_1}{t_2}}=\sqrt{6}$…10分．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是參數(shù)方程與普通方程，直線與圓的位置關(guān)系，極坐標(biāo)，熟練掌握極坐標(biāo)方程與普通方程之間互化的公式，及直線參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義是解答的關(guān)鍵．