已知函數(shù)f(x)=ex-1-ax(a∈R).
(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)當(dāng)x∈(0,2]時(shí),討論函數(shù)F(x)=f(x)-xlnx零點(diǎn)的個(gè)數(shù);
(3)若g(x)=ln(ex-1)-lnx,當(dāng)0<a≤1時(shí),求證:f[g(x)]<f(x).
考點(diǎn):導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用,根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性
專題:計(jì)算題,證明題,分類討論,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用
分析:(1)求函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù),對(duì)a討論,分當(dāng)a≤0時(shí),當(dāng)a>0時(shí),令導(dǎo)數(shù)大于0,得增區(qū)間,令導(dǎo)數(shù)小于0,得減區(qū)間;
(2)對(duì)F(x)=f(x)-xlnx進(jìn)行化簡(jiǎn),構(gòu)造函數(shù)h(x)=
ex-1
x
-xlnx(x>0),研究函數(shù)h(x)的單調(diào)性和最值,即可確定F(x)=f(x)-xlnx在定義域內(nèi)是否存在零點(diǎn);
(3)由(1)知,當(dāng)0<a≤1時(shí),f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,要證明f(g(x))<f(x),只要證明g(x)<x即可.
解答: 解:(1)函數(shù)的定義域?yàn)椋?∞,+∞),
f′(x)=(ex-ax-1)′=ex-a.
當(dāng)a≤0時(shí),f′(x)>0恒成立,即有f(x)在R上遞增;
當(dāng)a>0時(shí),由f′(x)<0,得ex-a<0,ex<a,∴x<lna,
由f′(x)>0,得ex-a>0,ex>a,∴x>lna,
所以函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為(-∞,lna),單調(diào)增區(qū)間是(lna,+∞).
(2)函數(shù)F(x)=f(x)-xlnx的定義域?yàn)椋?,+∞),
由F(x)=0,得a=
ex-1
x
-lnx(x>0),
令h(x)=
ex-1
x
-lnx(x>0),
則h′(x)=
(ex-1)(x-1)
x2
,
由于x>0,ex-1>0,可知當(dāng)x>1,h′(x)>0;當(dāng)0<x<1時(shí),h′(x)<0,
故函數(shù)h(x)在(0,1)上單調(diào)遞減,在(1,2]上單調(diào)遞增,故h(x)≥h(1)=e-1.
又h(2)=
e2-1
4

當(dāng)a=1時(shí),對(duì)?x>0,有f(x)>f(lna)=0,即ex-1>x,即
ex-1
x
>1,
當(dāng)e-1<a<
e2-1
4
<e-1時(shí),函數(shù)F(x)有兩個(gè)不同的零點(diǎn);
當(dāng)a=e-1或a=
e2-1
4
時(shí),函數(shù)F(x)有且僅有一個(gè)零點(diǎn);
當(dāng)a<e-1或a
e2-1
4
時(shí),函數(shù)F(x)沒有零點(diǎn);
(3)由(1)知,當(dāng)0<a≤1時(shí)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,且f(0)=0;
∴對(duì)x>0時(shí),有f(x)>0,則ex-1>ax;
故對(duì)任意x>0,ln(ex-1)-ln(ax)>g(x)=ln(ex-1)-lnx>0;
所以,要證f[g(x)]<f(x),只需證:?x>0,g(x)<x;
只需證:?x>0,ln(ex-1)-lnx<x;即證:ln(ex-1)<lnx+lnex;
即證:?x>0,xex>ex-1; 所以,只要證:?x>0,xex-ex+1>0,
令H(x)=xex-ex+1,則H′(x)=xex>0,
故函數(shù)H(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增.∴H(x)>H(0)=0;
∴對(duì)?x>0,xex-ex+1>0成立,即g(x)<x,
∴f[g(x)]<f(x).
點(diǎn)評(píng):本題以函數(shù)為載體,主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義,考查導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)的單調(diào)性和最值中的應(yīng)用,考查恒成立問題的解決方法,屬于中檔題.
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三角形三邊長(zhǎng)為a,b,c,且滿足關(guān)系式(a+b+c)(a+b-c)=3ab,則c邊的對(duì)角等于(  )
A、15°B、45°
C、60°D、120°

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設(shè)全集I=R,已知集合M={x|(x+2)2≤0},N={x|x2-x-6=0}.
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(2)記集合A=(∁IM)∩N,已知集合B={x|a+1≤x≤5-a,a∈R},若B∪A=A,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

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在直二面角α-MN-β中,等腰直角△ABC的斜邊BC?α,一直角邊AC?β,BC與β所成角的正弦值為
6
4
,則AB與β所成的角是.
A、
π
6
B、
π
3
C、
π
4
D、
π
2

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計(jì)算:x log3x=
x
9
2
9

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已知定義在R上的函數(shù)f(x)是周期為3的奇函數(shù),當(dāng)x∈(0,
3
2
)時(shí),f(x)=sinπx,則函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,5]上零點(diǎn)個(gè)數(shù)為( 。
A、0B、8C、7D、6

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設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且對(duì)任意的n∈N*,都有an>0,且點(diǎn)(a13+a23+…+an3,Sn)(n∈N*)在函數(shù)y=
x
的圖象上.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)若數(shù)列{bn}滿足:2 an=
b1
2-1
+
b2
22-1
+
b3
23-1
+…+
bn
2n-1
,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn

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寫出適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,并畫出草圖:
(1)a=5,b=1,焦點(diǎn)在x軸上;
(2)焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0,-4),(0,4),a=5.

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已知點(diǎn)P(an,an+1)(n∈N*)(n∈N*)是函數(shù)y=
1
4
x2在點(diǎn)(1,
1
4
)處的切線上的點(diǎn),且a1=
1
2

(1)證明:{an+
1
2
}是等比數(shù)列;
(2)求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn

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