Question

某企業(yè)某年生產某種產品，通過合理定價及促銷活動，確保產銷平衡（根據市場情況確定產量，使該年所生產產品剛好全部銷售完畢），年產量、年銷量均為x萬件．已知每生產1萬件產品需投入32萬元的生產費用，另外該年生產設備折舊、維修等固定費用總共為4萬元．每件產品定價為平均每件生產成本的150%進行銷售，年銷量x萬件與年促銷費用t萬元之間滿足關系：（k為常數），當年促銷費用t=0萬元時年銷量是x=2萬件．
（Ⅰ）將年的利潤y（萬元）表示為促銷費t（萬元）的函數；
（Ⅱ）該企業(yè)年促銷費投入多少萬元時，企業(yè)年利潤最大？相應年產量及最大年利潤為多少？
注：生產成本=固定費用+生產費用�。ú话�括促銷費用）
利潤=銷售收入-生產成本-促銷費．

Answer 1

解：（Ⅰ）依題意，x=6-，將t=0，x=2代入得k=4，
∴年銷售量x=6-，t≥0．
依題意，產銷平衡即年產量等于年銷量x萬件，
∴當年生產量為x萬件時，
年生產成本=32x+4=32（6-）+4=196-，
平均每件產品生產成本=（196-）÷x，
年銷售收入=[（196-）÷x]×=，
∴年利潤y=-（196-）-t=98--t，t≥0．
（Ⅱ）∵y=98-=99-（t+1+），t≥0
∴t+1+≥2=16，
∴當且僅當t+1=，即t=7時，y_max=99-16=83．
∴當促銷費投入7萬元時，企業(yè)年利潤最大，
此時年產量x=5.5萬件，年利潤最大值為83萬元．
分析：（Ⅰ）依題意，x=6-，將t=0，x=2代入得k=4，年銷售量x=6-，t≥0．產銷平衡即年產量等于年銷量x萬件，由此分別求出年生產成本和年銷售收入，由此能（將年的利潤y（萬元）表示為促銷費t（萬元）的函數．
（Ⅱ）由y=98-=99-（t+1+），t≥0，利用均值不等式能求出當促銷費投入7萬元時，企業(yè)年利潤最大，并能求出此時年產量和年利潤最大值．
點評：本題主要考查了函數模型的選擇與應用，以及基本不等式在最值問題中的應用，同時考查了計算能力，屬于難題．