Question

19．如圖，四棱錐P-ABCD中，AD∥BC，AD⊥DC，AD=2BC=2CD=2，側(cè)面APD為等腰直角三角形，PA⊥PD，平面PAD⊥平面ABCD．
（Ⅰ）求證：PA⊥面PCD；
（Ⅱ）求二面角A-PB-C的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推導(dǎo)出DC⊥PA，PA⊥PD，由此能證明PA⊥平面PCD．
（Ⅱ）以P為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以PA、PD所在直線為x、y軸，以過點(diǎn)P作平面PAD的垂線為z軸，建空間直角坐標(biāo)系P-xyz，利用向量法能求出二面角A-PB-C的余弦值．

解答 證明：（Ⅰ）∵AD⊥DC，平面PAD⊥底面ABCD，
∴DC⊥平面PAD，∴DC⊥PA，
又∵PA⊥PD，DC∩PD=D，
∴PA⊥平面PCD．
解：（Ⅱ）以P為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以PA、PD所在直線為x、y軸，以過點(diǎn)P作平面PAD的垂線為z軸，建空間直角坐標(biāo)系P-xyz如圖．
∵AD=2BC=2CD=2，側(cè)面APD為等腰直角，∴PD=PA=$\sqrt{2}$，
∴P（0，0，0），B（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1），C（0，$\sqrt{2}$，1），A（$\sqrt{2}$，0，0），
$\overrightarrow{PA}$=（$\sqrt{2}$，0，0），$\overrightarrow{PB}$=（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1），$\overrightarrow{PC}$=（0，$\sqrt{2}$，1），
設(shè)平面PAB的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PA}=\sqrt{2}x=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PB}=\frac{\sqrt{2}}{2}x+\frac{\sqrt{2}}{2}y+z=0}\end{array}\right.$，取y=$\sqrt{2}$，得$\overrightarrow{n}$=（0，$\sqrt{2}$，-1），
設(shè)平面PBC的法向量$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{PB}=\frac{\sqrt{2}}{2}a+\frac{\sqrt{2}}{2}b+c=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{PC}=\sqrt{2}b+c=0}\end{array}\right.$，取b=1，得$\overrightarrow{m}$=（1，1，-$\sqrt{2}$），
設(shè)二面角A-PB-C的平面角為θ，
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}•\sqrt{5}}$=$\frac{2\sqrt{30}}{15}$．
∴二面角A-PB-C的余弦值為$\frac{2\sqrt{30}}{15}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面垂直的判定，考查二面角的余弦值的求法，注意解題方法的積累，屬于中檔題．