分析 (Ⅰ)推導(dǎo)出DC⊥PA,PA⊥PD,由此能證明PA⊥平面PCD.
(Ⅱ)以P為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以PA、PD所在直線為x、y軸,以過點(diǎn)P作平面PAD的垂線為z軸,建空間直角坐標(biāo)系P-xyz,利用向量法能求出二面角A-PB-C的余弦值.
解答 證明:(Ⅰ)∵AD⊥DC,平面PAD⊥底面ABCD,
∴DC⊥平面PAD,∴DC⊥PA,
又∵PA⊥PD,DC∩PD=D,
∴PA⊥平面PCD.
解:(Ⅱ)以P為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以PA、PD所在直線為x、y軸,以過點(diǎn)P作平面PAD的垂線為z軸,建空間直角坐標(biāo)系P-xyz如圖.
∵AD=2BC=2CD=2,側(cè)面APD為等腰直角,∴PD=PA=√2,
∴P(0,0,0),B(√22,√22,1),C(0,√2,1),A(√2,0,0),
→PA=(√2,0,0),→PB=(√22,√22,1),→PC=(0,√2,1),
設(shè)平面PAB的法向量→n=(x,y,z),
則{→n•→PA=√2x=0→n•→PB=√22x+√22y+z=0,取y=√2,得→n=(0,√2,-1),
設(shè)平面PBC的法向量→m=(a,b,c),
則{→m•→PB=√22a+√22b+c=0→m•→PC=√2b+c=0,取b=1,得→m=(1,1,-√2),
設(shè)二面角A-PB-C的平面角為θ,
則cosθ=|→m•→n||→m|•|→n|=2√2√3•√5=2√3015.
∴二面角A-PB-C的余弦值為2√3015.
點(diǎn)評(píng) 本題考查線面垂直的判定,考查二面角的余弦值的求法,注意解題方法的積累,屬于中檔題.
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