省環(huán)保研究所對市中心每天環(huán)境放射性污染情況進行調查研究后,發(fā)現(xiàn)一天中環(huán)境綜合放射性污染指數(shù)f(x)與時刻x(時)的關系為f(x)=|g(x)-a|+2a+
2
3
,x∈[0,24],其中g(x)=
1
2
sin(
π
4
x),x∈[0,2]
1
x
,x∈(2,24]
,a是與氣象有關的參數(shù),且a∈[0,
1
2
],若用每天f(x)的最大值為當天的綜合放射性污染指數(shù),并記作M(a).
(1)令t=g(x),求t的取值范圍;
(2)省政府規(guī)定,每天的綜合放射性污染指數(shù)不得超過2,試問目前市中心的綜合放射性污染指數(shù)是否超標?
考點:分段函數(shù)的應用
專題:計算題,應用題,函數(shù)的性質及應用,不等式的解法及應用
分析:(1)由正弦函數(shù)的圖象和性質和冪函數(shù)的單調性,即可得到t的范圍;
(2)當a∈[0,
1
2
]時,記g(t)=|t-a|+2a+
2
3
,則g(t)=
-t+3a+
2
3
,0≤t≤a
t+a+
2
3
,a<t≤
1
2
,運用一次函數(shù)的單調性,可得最大值和最小值,作差即可得到M(a),當且僅當a≤
4
9
 時,M(a)≤2,即可判斷.
解答: 解 (1)當0≤x≤2時,y=
1
2
sin
πx
4
∈[0,
1
2
],
當2<x≤24時,y=
1
x
∈[
1
24
1
2
),
則當0<x≤24時,t的取值范圍是[0,
1
2
];
(2)當a∈[0,
1
2
]時,記g(t)=|t-a|+2a+
2
3

則g(t)=
-t+3a+
2
3
,0≤t≤a
t+a+
2
3
,a<t≤
1
2
,
∵g(t)在[0,a]上單調遞減,在(a,
1
2
]上單調遞增,
且g(0)=3a+
2
3
,g(
1
2
)=a+
7
6
,g(0)-g(
1
2
)=2 (a-
1
4
).
故M(a)=
g(
1
2
),0≤a≤
1
4
g(0),
1
4
<a≤
1
2
=
a+
7
6
,0≤a≤
1
4
3a+
2
3
,
1
4
<a≤
1
2
,
∴當且僅當a≤
4
9
 時,M(a)≤2.
故當0≤a≤
4
9
 時不超標,當
4
9
<a≤
1
2
 時超標.
點評:本題考查分段函數(shù)的運用,考查函數(shù)的單調性的運用,考查運算能力,屬于中檔題和易錯題.
練習冊系列答案
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π
8
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π
4
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D、1-
π
4

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