Question

【題目】在△ABC中，角A，B，C所對的邊長分別為a，b，c，且cos ．
（1）若a=3，b= ，求c的值；
（2）若f（A）=sinA（ cosA﹣sinA），求f（A）的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：在△ABC中，A+B+C=π，

∴cos =cos =sin = ，

∴ = ，即B= ，

∵a=3，b= ，cosB= ，

∴由余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB，即7=9+c2﹣3c，

整理得：c2﹣3c+2=0，

解得：c=1或c=2

（2）解：f（A）=sinA（ cosA﹣sinA）= sin2A﹣ =sin（2A+ ）﹣ ，

由（1）得B= ，

∴A+C= ，即A∈（0， ），

∴2A+ ∈（ ， ），

∴sin（2A+ ）∈（﹣1，1]，

∴f（A）∈（﹣ ， ]，

∴f（A）的取值范圍是（﹣ ， ]

【解析】（1）已知等式左邊變形后，利用誘導公式化簡求出sin 的值，確定出B的度數，再由a，b的值，利用余弦定理求出c的值即可；（2）f（A）解析式去括號后，利用二倍角的正弦、余弦函數公式化簡，整理后化為一個角的正弦函數，根據B的度數表示出A+C的度數，確定出這個角的范圍，利用正弦函數的值域即可確定出f（A）的范圍．