Question

7．當x∈[-2，-1]，不等式ax³-x²+4x+3≥0恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A． [-5，-3]
• B． （-∞，-$\frac{9}{8}$]
• C． （-∞，-2]
• D． [-4，-3]

Answer 1

分析 根據(jù)x的范圍，不等式可整理為a≤$\frac{1}{x}$-$\frac{4}{{x}^{2}}$-$\frac{3}{{x}^{3}}$，構造函數(shù)f（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{4}{{x}^{2}}$-$\frac{3}{{x}^{3}}$，通過導函數(shù)得出函數(shù)的單調性，求出函數(shù)的最小值即可．

解答 解：x∈[-2，-1]，ax³-x²+4x+3≥0，
∴ax³-x²+4x+3≥0可化為a≤$\frac{1}{x}$-$\frac{4}{{x}^{2}}$-$\frac{3}{{x}^{3}}$，
令f（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{4}{{x}^{2}}$-$\frac{3}{{x}^{3}}$，f'（x）=-$\frac{（x-9）（x+1）}{{x}^{4}}$，
當-2≤x＜-1時，f′（x）＜0，f（x）單調遞減，
∴f（x）≥f（-1）=-2，
∴a≤-2．
故選C．

點評 考查了對不等式的變形和對恒成立問題的轉換，利用導函數(shù)判斷函數(shù)的單調性問題．