Question

15．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，短軸兩個(gè)端點(diǎn)為A，B，且四邊形F₁AF₂B是邊長(zhǎng)為2的正方形．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)P是橢圓C上一點(diǎn)，M（$\frac{1}{2}$，0）為橢圓長(zhǎng)軸上一點(diǎn)，求|PM|的最大值與最小值；
（3）設(shè)Q是橢圓外C的動(dòng)點(diǎn)，滿足|$\overrightarrow{{F_1}Q}$|=4，點(diǎn)R是線段F₁Q與該橢圓的交點(diǎn)，點(diǎn)T在線段F₂Q上，并且滿足$\overrightarrow{RT}$•$\overrightarrow{T{F_2}}$=0，|$\overrightarrow{T{F_2}}$|≠0，求點(diǎn)T的軌跡C的方程．

Answer 1

分析 （1）運(yùn)用正方形的性質(zhì)可得b=c=$\sqrt{2}$，求得a=2，進(jìn)而得到橢圓方程；
（2）設(shè)P（x，y）P是橢圓C上一點(diǎn)，則y²=2-$\frac{1}{2}$x²，運(yùn)用兩點(diǎn)的距離公式和二次函數(shù)的最值求法，即可得到所求最值；
（3）通過(guò)連接PF₂、連接OT，利用橢圓定義可知|PF₂|=|PQ|，進(jìn)而T為QF₂的中點(diǎn)，利用三角形中位線定理可知|OT|=2，進(jìn)而可得軌跡方程．

解答 解：（1）由四邊形F₁AF₂B是邊長(zhǎng)為2的正方形，
可得b=c=$\sqrt{2}$，a=$\sqrt{^{2}+{c}^{2}}$=4，
則橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=；
（2）設(shè)P（x，y）P是橢圓C上一點(diǎn)，
則y²=2-$\frac{1}{2}$x²，
可得|PM|=$\sqrt{（x-\frac{1}{2}）^{2}+{y}^{2}}$=$\sqrt{{x}^{2}-x+\frac{1}{4}+2-\frac{1}{2}{x}^{2}}$
=$\sqrt{\frac{1}{2}（x-1）^{2}+\frac{7}{4}}$，
由x∈[-2，2]，可得當(dāng)x=1時(shí)，|PM|的最小值為$\frac{\sqrt{7}}{2}$；
當(dāng)x=-2時(shí)|PM|的最大值為$\frac{5}{2}$；
（3）設(shè)點(diǎn)T的坐標(biāo)為（x，y），
連接PF₂，連接OT，
由橢圓的定義可得|PF₁|+|PF₂|=4，又|QF₁|=4，
可得|PF₂|=|PQ|，
由$\overrightarrow{RT}$•$\overrightarrow{T{F_2}}$=0，可得PT⊥QF₂，
即有QT=TF₂，
又|OF₁|=|OF₂|，
可得OT∥QF₁，
則|OT|=$\frac{1}{2}$|QF₁|=2，
即有T的軌跡C方程為圓x²+y²=4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓方程的求法，注意運(yùn)用正方形的性質(zhì)，考查兩點(diǎn)的距離的最值的求法，注意轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值求法，考查軌跡方程的求法，注意運(yùn)用等腰三角形的三線合一，以及橢圓的定義和中位線定理，屬于中檔題．