Question

6．若直線l交拋物線C：y²=2px（p＞0）于兩不同點(diǎn)A，B，且|AB|=3p，則線段AB中點(diǎn)M到y(tǒng)軸距離的最小值為（　�。�

• A． $\frac{p}{2}$
• B． p
• C． $\frac{3p}{2}$
• D． 2p

Answer 1

分析 l：x=-$\frac{p}{2}$，分別過(guò)A，B，M作AC⊥l，BD⊥l，MH⊥l，垂足分別為C，D，H，要求M到y(tǒng)軸的最小距離，只要先由拋物線的定義求M到拋物線的準(zhǔn)線的最小距離d，然后用d-$\frac{p}{2}$，即可求解．

解答 解：由題意可得拋物線的準(zhǔn)線l：x=-$\frac{p}{2}$
分別過(guò)A，B，M作AC⊥l，BD⊥l，MH⊥l，垂足分別為C，D，H
在直角梯形ABDC中，MH=$\frac{1}{2}$（AC+BD），
由拋物線的定義可知AC=AF，BD=BF（F為拋物線的焦點(diǎn)）
MH=$\frac{1}{2}$（AE+BF）≥$\frac{1}{2}$AB=$\frac{3}{2}$p
即AB的中點(diǎn)M到拋物線的準(zhǔn)線的最小距離為$\frac{3}{2}$p，
∴線段AB中點(diǎn)M到y(tǒng)軸距離的最小值為$\frac{3}{2}$p-$\frac{p}{2}$=p，
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線段中點(diǎn)到y(tǒng)軸距離的最小值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意拋物線性質(zhì)的合理運(yùn)用，屬于中檔題．