Question

18．已知集合A={a₁，a₂，…a_n}（n∈N^*），規(guī)定：若集合A₁∪A₂∪…∪A_m=A（m≥2，m∈N^*），則稱{A₁，A₂，…，A_m}為集合A的一個(gè)分拆，當(dāng)且僅當(dāng)：A₁=B₁，A₂=B₂，…A_m=B_m時(shí)，{A₁，A₂，…，A_m}與{B₁，B₂，…，B_m}為同一分拆，所有不同的分拆種數(shù)記為f_n（m）．例如：當(dāng)n=1，m=2時(shí)，集合A={a₁}的所有分拆為：{a₁}∪{a₁}，{a₁}∪∅，∅∪{a₃}，即f₁（2）=3．
（1）求f₂（2）；
（2）試用m、n表示f_n（m）；
（3）證明：$\sum_{i=1}^{m}$f_n（i）與m同為奇數(shù)或者同為偶數(shù)（當(dāng)i=1時(shí)，規(guī)定f_n（1）=1）

Answer 1

分析 （1）集合A₁∪A₂=A，對于每一個(gè)A_j（j=1，2），a₁都有進(jìn)入或不進(jìn)入兩種可能，由此能求出f₂（2）=9．
（2）a_n有2^m-1種進(jìn)入A₁，A₂，…，A_m的不同方法，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，a₁，a₂，…，a_n進(jìn)入A₁，A₂，…，A_m共有（2^m-1）ⁿ種不同方法，從而求出${f}_{n}（m）=（{2}^{m}-1）^{n}$．
（3）運(yùn)用二項(xiàng)式定理將（2ⁱ-1）ⁿ展開得（2ⁱ-1）ⁿ=$\sum_{i=1}^{m}（{2}^{i}-1）^{n}$=$\sum_{i=1}^{m}$[（2ⁱ）ⁿ+（-1）C${\;}_{n}^{1}$（2ⁱ）^n-1+（-1）²${C}_{n}^{2}（{2}^{i}）^{n-2}$+…+（-1）ⁿ]，由此能證明$\sum_{i=1}^{m}$f_n（i）與m同為奇數(shù)或者同為偶數(shù)．

解答 解：（1）集合A₁∪A₂=A，
對于每一個(gè)A_j（j=1，2），a₁都有進(jìn)入或不進(jìn)入兩種可能，
而且a₁至少進(jìn)入其中一個(gè)A_j（j=1，2），
所以a₁有${C}_{2}^{1}+{C}_{2}^{2}$=3種進(jìn)入A₁，A₂的不同方法；
同理a₂有${C}_{2}^{1}+{C}_{2}^{2}$=3種進(jìn)入A₁，A₂的不同方法；
根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，a₁，a₂進(jìn)入A₁，A₂共有3×3=9種不同方法，
即f₂（2）=9．
（2）∵集合A₁∪A₂∪…∪A_m=A（m≥2，m∈N^*），
下面按a_i（i=1，2，…，n）是否進(jìn)入A_j（j=1，2，…，m）分為n步求解：
第一步：對于每一個(gè)A_j（j=1，2，…，m），a₁都有進(jìn)入或不進(jìn)入兩種可能，
而且a至少進(jìn)入其中一個(gè)A_j（j=1，2，…，m），
所以a₁有${C}_{m}^{1}+{C}_{m}^{2}+…+{C}_{m}^{m}={2}^{m}-1$種進(jìn)入A₁，A₂，…，A_m的不同方法；…（4分）
第二步：同理a₂有2^m-1種進(jìn)入A₁，A₂，…，A_m的不同方法；
…
第n步：同理a_n有2^m-1種進(jìn)入A₁，A₂，…，A_m的不同方法．
根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，a₁，a₂，…，a_n進(jìn)入A₁，A₂，…，A_m共有（2^m-1）ⁿ種不同方法，
即${f}_{n}（m）=（{2}^{m}-1）^{n}$．…（6分）
（3）運(yùn)用二項(xiàng)式定理將（2ⁱ-1）ⁿ展開可得：
（2ⁱ-1）ⁿ=${C}_{n}^{0}（{2}^{i}）^{n}+（-1）{C}_{n}^{1}（{2}^{i}）^{n-1}+（-1）^{2}（{2}^{i}）^{n-2}$+…+（-1）ⁿ，其中i=1，2，…，m，
∴$\sum_{i=1}^{m}（{2}^{i}-1）^{n}$=$\sum_{i=1}^{m}$[（2ⁱ）ⁿ+（-1）C${\;}_{n}^{1}$（2ⁱ）^n-1+（-1）²${C}_{n}^{2}（{2}^{i}）^{n-2}$+…+（-1）ⁿ]
=${C}_{n}^{0}\sum_{i=1}^{m}（{2}^{i}）^{n}+（-1）{C}_{n}^{1}\sum_{i=1}^{m}（{2}^{i}）^{n-1}$+（-1）²${C}_{n}^{2}\sum_{i=1}^{m}（{2}^{i}）^{n-2}$+…+$\sum_{i=1}^{m}（-1）^{n}$=2S+（-1）ⁿn，其中S∈N^*，
所以當(dāng)m為奇數(shù)時(shí)，2S+（-1）ⁿm為奇數(shù)；
當(dāng)m為偶數(shù)時(shí)，2S+（-1）ⁿm也為偶數(shù)，
即$\sum_{i=1}^{m}$f_n（i）與m同為奇數(shù)或者同為偶數(shù)．

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)表達(dá)式的求法，考查$\sum_{i=1}^{m}$f_n（i）與m同為奇數(shù)或者同為偶數(shù)的證明，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意分類討論思想的合理運(yùn)用．