Question

7．已知α為銳角，且$cos（{α+\frac{π}{4}}）=\frac{3}{5}$，則cos2α=（　　）

• A． $\frac{24}{25}$
• B． $\frac{7}{25}$
• C． $-\frac{24}{25}$
• D． $±\frac{24}{25}$

Answer 1

分析 由已知可求范圍$\frac{π}{4}$＜α+$\frac{π}{4}$＜$\frac{π}{2}$，利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求sin（α+$\frac{π}{4}$），利用兩角差的正弦函數(shù)公式可求sinα的值，進而利用二倍角的余弦函數(shù)公式即可計算得解．

解答 解：∵0＜α＜$\frac{π}{2}$，$cos（{α+\frac{π}{4}}）=\frac{3}{5}$，
∴可得：$\frac{π}{4}$＜α+$\frac{π}{4}$＜$\frac{π}{2}$，
∴sin（α+$\frac{π}{4}$）=$\frac{4}{5}$，
∴sinα=sin[（α+$\frac{π}{4}$）-$\frac{π}{4}$]=sin（α+$\frac{π}{4}$）cos$\frac{π}{4}$-cos（α+$\frac{π}{4}$）sin$\frac{π}{4}$=$\frac{4}{5}×\frac{\sqrt{2}}{2}$-$\frac{3}{5}×\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{10}$，
∴cos2α=1-2sin²α=1-2×（$\frac{\sqrt{2}}{10}$）²=$\frac{24}{25}$．
故選：A．

點評 本題主要考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，兩角差的正弦函數(shù)公式，二倍角的余弦函數(shù)公式在三角函數(shù)化簡求值中的應(yīng)用，考查了計算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．