Processing math: 100%
9.棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中,沿平面A1ACC1將正方體分成兩部分,其中一部分如圖所示,過直線A1C的平面A1CM與線段BB1交于點(diǎn)M.
(Ⅰ)當(dāng)M與B1重合時(shí),求證:MC⊥AC1;
(Ⅱ)當(dāng)平面A1CM⊥平面A1ACC1時(shí),求平面A1CM分幾何體所得兩部分體積之比.

分析 (I)由AB⊥平面BCC1B1可得AB⊥B1C,又B1C⊥BC1,故而B1C⊥平面ABC1,于是B1C⊥AC1
(II)當(dāng)M為B1B中點(diǎn),分別取A1C、AC中點(diǎn)N、P,連結(jié)MN、NP、PB,則可證四邊形四邊形PBMN是平行四邊形,由面面垂直可得BP⊥平面A1ACC1,從而MN⊥平面A1ACC1,故平面MA1C⊥平面A1ACC1.于是M為B1B中點(diǎn).分別計(jì)算被平面MA1C分成的兩個四棱錐的體積,得出體積比.

解答 解:(Ⅰ)連接C1B

∵正方形B1BCC1中,∴BC1⊥B1C,
正方體ABCD-A1B1C1D1中,∵AB⊥平面B1BCC1,B1C∈平面B1BCC1
∴AB⊥B1C,又AB?平面ABC1,BC1?平面ABC1,AB∩BC1=B,
∴B1C⊥平面ABC1,∵AC1?平面ABC1,
∴BC⊥AC1,即MC⊥AC1
(Ⅱ)當(dāng)M為B1B中點(diǎn)時(shí),
分別取A1C、AC中點(diǎn)N、P,連結(jié)MN、NP、PB

則MB∥A1A∥NP,且MB=NP=12A1A,
∴四邊形MBPN為平行四邊形,∴MN∥PB,
∵平面A1ACC1⊥平面ABC,平面A1ACC1∩平面ABC=AC,PB⊥AC,
∴BP⊥平面A1ACC1,
∴MN⊥平面A1ACC1,∵M(jìn)N?平面M1AC,
∴平面MA1C⊥平面A1ACC1
設(shè)AB=a,
∴VA1MCC1B1=13SMCC1B1A1B1=13×12×a+a2×a×a=14a3,
VCABMA1=13SABMA1BC=13×12×a+a2×a×a=14a3
∴VA1MCC1B1:VCABMA1=1:1.

點(diǎn)評 本題考查了線面垂直的判定與性質(zhì),面面垂直的性質(zhì),棱錐的體積計(jì)算,屬于中檔題.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

19.已知雙曲線x2-y23=1的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2,P為雙曲線右支上一點(diǎn),點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(-2,3),則|PQ|+|PF1|的最小值為7.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

20.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知△ABC的頂點(diǎn)B、C恰好是雙曲線M:x29y216=1的左右焦點(diǎn),且頂點(diǎn)A在雙曲線M的右支上,則sinCsinBsinA=35

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

17.如圖(1),在等腰梯形ABCD中,AB∥CD,E,F(xiàn)分別為AB和CD的中點(diǎn),且AB=EF=2,CD=6,M為EC中點(diǎn),現(xiàn)將梯形ABCD沿EF所在直線折起,使平面EFCB⊥平面EFDA,如圖(2)所示,N是CD的中點(diǎn).
(Ⅰ)求證:MN∥平面ADFE;
(Ⅱ)求四棱錐M-EFDA的體積.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

4.已知函數(shù)f(x)={log12xx0x22xx0,則不等式f(x)≤0的解集為{x|x≥1或x=0或x≤-2}.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

14.M,N分別為雙曲線x24-y23=1左、右支上的點(diǎn),設(shè)v是平行于x軸的單位向量,則|MNv|的最小值為4.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

1.如圖1,直角梯形ABCD中,AB∥CD,∠BAD=90°,AB=AD=2,CD=4,點(diǎn)E為線段AB上異于A,B的點(diǎn),且EF∥AD,沿EF將面EBCF折起,使平面EBCF⊥平面AEFD,如圖2.
(Ⅰ)求證:AB∥平面DFC;
(Ⅱ)當(dāng)三棱錐F-ABE體積最大時(shí),求鈍二面角B-AC-D的余弦值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

18.利用輾轉(zhuǎn)相除法求兩數(shù)4081與20723的最大公約數(shù).

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

19.用反證法證明命題:“已知x∈R,a=x2-1,b=2x+2,則a,b中至少有一個不小于0”,反設(shè)正確的是( �。�
A.假設(shè)a,b都不大于0B.假設(shè)a,b至多有一個大于0
C.假設(shè)a,b都大于0D.假設(shè)a,b都小于0

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案