Question

1．對函數(shù)f（x），在使f（x）≥M成立的所有常數(shù)M中，我們把M的最大值叫做函數(shù)f（x）的下確界．現(xiàn)已知定義在R上的偶函數(shù)f（x）滿足f（1-x）=f（1+x），當(dāng)x∈[0，1]時，f（x）=-3x²+2，則f（x）的下確界為（　�。�

• A． 2
• B． 1
• C． -2
• D． -1

Answer 1

分析 由偶函數(shù)的定義和已知f（1-x）=f（1+x），可得f（x）為最小正周期為2的函數(shù)．求出f（x）在[-1，1]的解析式，運用二次函數(shù)的性質(zhì)，可得最值，再由新定義，即可得到M的范圍，可得M的最大值．

解答 解：由定義在R上的偶函數(shù)f（x），可得
f（-x）=f（x），
又f（1-x）=f（1+x），
可得f（-x）=f（x+2），
即有f（x+2）=f（x），
則f（x）為最小正周期為2的函數(shù)．
當(dāng)x∈[0，1]時，f（x）=-3x²+2，
可得x∈[-1，0]時，f（x）=f（-x）=-3x²+2，
f（x）在[-1，]內(nèi)，最大值為f（0）=2，最小值為f（-1）=f（1）=-1．
由題意可得M≤-1．
則M的最大值為-1．
故選：D．

點評 本題考查函數(shù)的奇偶性和周期性的運用，考查函數(shù)的最值的求法，注意運用二次函數(shù)的性質(zhì)，考查不等式恒成立問題的解法，以及運算能力，屬于中檔題．