Question

6．當0＜x≤$\frac{1}{2}$時，4^x＜log_ax（a＞0且a≠1），則a的取值范圍是（　�。�

• A． （0，$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$）
• B． （$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，1）
• C． （1，$\sqrt{2}$）
• D． （$\sqrt{2}$，2）

Answer 1

分析 當0＜x≤$\frac{1}{2}$時，作出函數y=4^x的圖象，由不等式4^x＜log_ax恒成立，知y=log_ax的圖象恒在y=4^x的圖象的上方，由此利用數形結合思想能求出a的取值范圍．

解答 解：當0＜x≤$\frac{1}{2}$時，函數y=4^x的圖象如右圖所示：
若不等式4^x＜log_ax恒成立，
則y=log_ax的圖象恒在y=4^x的圖象的上方（如圖中虛線所示）
∵y=log_ax的圖象與y=4^x的圖象交于（$\frac{1}{2}$，2）點時，a=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
故虛線所示的y=log_ax的圖象對應的底數a應滿足$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜a＜1
故選：B．

點評 本題考查實數的取值范圍的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意數形結合思想的合理運用．