Question

13．已知函數(shù)f（x）=（x²-x+1）e^x，g（x）=x²-bx+9（b∈R），若對(duì)任意x₁∈R，存在x₂∈[1，3]，使f（x₁）＞g（x₂）成立，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是[6，+∞）．

Answer 1

分析 問(wèn)題轉(zhuǎn)化為f（x₁）_min＞g（x₂）_min成立，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性分別求出函數(shù)g（x）的最小值和f（x）的最小值，得到關(guān)于b的不等式，解出即可．

解答 解：f（x）=（x²-x+1）e^x，
f′（x）=（x²+x）e^x，
令f′（x）＞0，解得：x＞0或x＜-1，
令f′（x）＜0，解得：-1＜x＜0，
故f（x）在（-∞，-1）遞增，在（-1，0）遞減，在（0，+∞）遞增，
故x→-∞時(shí)，f（x）→0，
若對(duì)任意x₁∈R，存在x₂∈[1，3]，使f（x₁）＞g（x₂）成立，
只需g（x）_min≤0在[1，3]成立，
g（x）的對(duì)稱(chēng)軸是x=$\frac{2}$，
$\frac{2}$≤1時(shí)，g（x）在[1，3]遞增，g（x）_min=g（1）=10-b≤0，無(wú)解，
1＜$\frac{2}$＜3時(shí)，g（x）_min=g（$\frac{2}$）=$\frac{^{2}}{4}$-$\frac{^{2}}{2}$+9≤0，無(wú)解，
$\frac{2}$≥3時(shí)，g（x）_min=g（3）=18-3b≤0，解得：b≥6，
故答案為：[6，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)恒成立問(wèn)題，考查分類(lèi)討論思想，是一道綜合題．