Question

8．某重點(diǎn)大學(xué)自主招生考試過程依次為自薦材料審查、筆試、面試共三輪考核．規(guī)定：只能通過前一輪考核才能進(jìn)入下一輪的考核，否則將被淘汰；三輪考核都通過才算通過該高校的自主招生考試．學(xué)生甲三輪考試通過的概率分別為$\frac{2}{3}$，$\frac{3}{4}$，$\frac{4}{5}$，且各輪考核通過與否相互獨(dú)立．
（1）求甲通過該高校自主招生考試的概率；
（2）若學(xué)生甲每通過一輪考核，則家長獎(jiǎng)勵(lì)人民幣1000元作為大學(xué)學(xué)習(xí)的教育基金．記學(xué)生甲得到教育基金的金額為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （1）由題意利用相互獨(dú)立事件概率乘法公式能求出甲通過該高校自主招生考試的概率．
（2）由題意得X的可能取值為0，100，200，300，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列和EX．

解答 解：（1）由題意得甲通過該高校自主招生考試的概率：
p=$\frac{2}{3}$×$\frac{3}{4}$×$\frac{4}{5}$=$\frac{2}{5}$．
（2）由題意得X的可能取值為0，100，200，300，
P（X=0）=1-$\frac{2}{3}$=$\frac{1}{3}$，
P（X=100）=$\frac{2}{3}×（1-\frac{3}{4}）$=$\frac{1}{6}$，
P（X=200）=$\frac{2}{3}×\frac{3}{4}×（1-\frac{4}{5}）$=$\frac{1}{10}$，
P（X=300）=$\frac{2}{3}×\frac{3}{4}×\frac{4}{5}$=$\frac{2}{5}$，
∴X的分布列為：

X	0	100	200	300
P	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{10}$	$\frac{2}{5}$

EX=$0×\frac{1}{3}+100×\frac{1}{6}+200×\frac{1}{10}+300×\frac{2}{5}$=$\frac{470}{3}$．

點(diǎn)評 本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意相互獨(dú)立事件概率乘法公式的合理運(yùn)用．