Question

17．某公司計劃購買1臺機器，該種機器使用三年后即被淘汰．機器有一易損零件，在購進機器時，可以額外購買這種零件作為備件，每個200元．在機器使用期間，如果備件不足再購買，則每個500元．現(xiàn)需決策在購買機器時應同時購買幾個易損零件，為此搜集并整理了100臺這種機器在三年使用期內(nèi)更換的易損零件數(shù)，得如圖柱狀圖：

記x表示1臺機器在三年使用期內(nèi)需更換的易損零件數(shù)，y表示1臺機器在購買易損零件上所需的費用（單位：元），n表示購機的同時購買的易損零件數(shù)．
（Ⅰ）若n=19，求y與x的函數(shù)解析式；
（Ⅱ）若要求“需更換的易損零件數(shù)不大于n”的頻率不小于0.5，求n的最小值；
（Ⅲ）假設(shè)這100臺機器在購機的同時每臺都購買19個易損零件，或每臺都購買20個易損零件，分別計算這100臺機器在購買易損零件上所需費用的平均數(shù)，以此作為決策依據(jù)，購買1臺機器的同時應購買19個還是20個易損零件？

Answer 1

分析 （Ⅰ）若n=19，結(jié)合題意，可得y與x的分段函數(shù)解析式；
（Ⅱ）由柱狀圖分別求出各組的頻率，結(jié)合“需更換的易損零件數(shù)不大于n”的頻率不小于0.5，可得n的最小值；
（Ⅲ）分別求出每臺都購買19個易損零件，或每臺都購買20個易損零件時的平均費用，比較后，可得答案．

解答 解：（Ⅰ）當n=19時，
y=$\left\{\begin{array}{l}19×200，x≤19\\ 19×200+（x-19）×500，x＞19\end{array}\right.$=$\left\{\begin{array}{l}3800，x≤19\\ 500x-5700，x＞19\end{array}\right.$
（Ⅱ）由柱狀圖知，更換的易損零件數(shù)為16個頻率為0.06，
更換的易損零件數(shù)為17個頻率為0.16，
更換的易損零件數(shù)為18個頻率為0.24，
更換的易損零件數(shù)為19個頻率為0.24
又∵更換易損零件不大于n的頻率為不小于0.5．
則n≥19 
∴n的最小值為19件；
 （Ⅲ）假設(shè)這100臺機器在購機的同時每臺都購買19個易損零件，
所須費用平均數(shù)為：$\frac{1}{100}$（70×19×200+4300×20+4800×10）=4000（元）
 假設(shè)這100臺機器在購機的同時每臺都購買20個易損零件，
所須費用平均數(shù)為$\frac{1}{100}$（90×4000+10×4500）=4050（元）
∵4000＜4050 
∴購買1臺機器的同時應購買19臺易損零件．

點評 本題考查的知識點是分段函數(shù)的應用，頻率分布條形圖，方案選擇，難度中檔．