Question

3．已知函數(shù)f（x）=e^x-1-$\frac{ax}{x-1}$，a∈R．
（1）若函數(shù)g（x）=（x-1）f（x）在（0，1）上有且只有一個(gè)極值點(diǎn)，求a的范圍；
（2）當(dāng)a≤-1時(shí)，證明：f（x）lnx＞0對(duì)于任意x∈（0，1）∪（1，+∞）成立．

Answer 1

分析 （1）由題意可知：由函數(shù)g（x）在（0，1）上有且只有一個(gè)極值點(diǎn)，等價(jià)于g′（x）=xe^x-a-1在（0，1）上有且僅有一個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，構(gòu)造輔助函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，即可求得a的范圍；
（2）由題意，利用分析法，由結(jié)論可得 （x-1）（e^x-1）-ax≥0 在（0，+∞）恒成立，設(shè)g（x）=（x-1）（e^x-1）-ax，x∈[0，+∞），利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)g（x）單調(diào)性，則結(jié)論易得．

解答 解：（1）g（x）=（x-1）f（x）=（x-1）（e^x-1）-ax，x∈（0，1），
g′（x）=xe^x-a-1，
由函數(shù)g（x）在（0，1）上有且只有一個(gè)極值點(diǎn)，等價(jià)于g′（x）=xe^x-a-1在（0，1）上有且僅有一個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，
令H（x）=xe^x-a-1，x∈[0，1]，
H′（x）=e^x（x+1），由x∈[0，1]，H′（x）＞0，
H（x）在[0，1]單調(diào)遞增，
∴H（0）=-a-1＜0，H（1）=e-a-1＞0，
解得：-1＜a＜e-1，
∴當(dāng)-1＜a＜e-1時(shí)，函數(shù)g（x）在（0，1）上有且只有一個(gè)極值點(diǎn)；
（2）證明：f（x）lnx=（e^x-1-$\frac{ax}{x-1}$）lnx，只需證：$\frac{1}{x-1}$•lnx[（x-1）（e^x-1）-ax]≥0 在 （0，1）∪（1，+∞） 上恒成立，
由x∈（0，1）∪（1，+∞） 時(shí)，$\frac{1}{x-1}$•lnx＞0恒成立，
∴只需證：（x-1）（e^x-1）-ax≥0 在（0，+∞）恒成立，
設(shè)g（x）=（x-1）（e^x-1）-ax，x∈[0，+∞），
由g（0）=0  恒成立，
∴只需證：g（x）≥0 在[0，+∞），恒成立 g′（x）=xe^x-1-a，
g″（x）=（x+1）e^x＞0恒成立，
∴g′（x）單調(diào)遞增，g′（x）≥g′（0）=-1-a≥0，
∴g（x）單調(diào)遞增，g（x）≥g（0）=0，
∴g（x）≥0 在[0，+∞）恒成立，
∴f（x）lnx＞0對(duì)于任意x∈（0，1）∪（1，+∞）成立．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性及極值，考查分析法證明不等式成立，考查轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．