Question

5．已知F₁，F(xiàn)₂分別是長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2$\sqrt{2}$的橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左右焦點(diǎn)，A₁，A₂是橢圓C的左右頂點(diǎn)，P為橢圓上異于A₁，A₂的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)M為線段PA₂的中點(diǎn)，且直線PA₂與OM的斜率之積恒為-$\frac{1}{2}$．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)過點(diǎn)F₁且不與坐標(biāo)軸垂直的直線l交橢圓于A，B兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線與x軸交于點(diǎn)N，點(diǎn)N橫坐標(biāo)的取值范圍是（-$\frac{1}{4}$，0），求線段AB長(zhǎng)的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用橢圓Q的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2$\sqrt{2}$，求出a=$\sqrt{2}$，設(shè)P（x₀，y₀），通過直線PA與OM的斜率之積恒為，-$\frac{1}{2}$．化簡(jiǎn)求出b，即可得到橢圓方程；
（Ⅱ）將直線方程代入橢圓方程，由此利用韋達(dá)定理、中點(diǎn)坐標(biāo)公式、直線方程、弦長(zhǎng)公式，能求出線段AB長(zhǎng)的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）由題意可知2a=2$\sqrt{2}$，則a=$\sqrt{2}$，設(shè)P（x₀，y₀），
∵直線PA與OM的斜率之積恒為-$\frac{1}{2}$，∴$\frac{\frac{{y}_{0}}{2}}{\frac{{x}_{0}+\sqrt{2}}{2}}$×$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-\sqrt{2}}$=-$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{{x}_{0}^{2}}{2}$+${y}_{0}^{2}$=1，
∴b=1，
橢圓C的方程$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$；
（Ⅱ）設(shè)直線l：y=k（x+1），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
聯(lián)立直線與橢圓方程：$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+1）}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得：（2k²+1）x²+4k²x+2k²-2=0，
則x₁+x₂=-$\frac{4{k}^{2}}{2{k}^{2}+1}$，x₁x₂=$\frac{2{k}^{2}-2}{2{k}^{2}+1}$，
則y₁+y₂=k（x₁+x₂+2）=$\frac{2k}{2{k}^{2}+1}$，
∴AB中點(diǎn)Q（-$\frac{2{k}^{2}}{2{k}^{2}+1}$，$\frac{k}{2{k}^{2}+1}$），
QN直線方程為：y-$\frac{k}{2{k}^{2}+1}$=-$\frac{1}{k}$（x+$\frac{2{k}^{2}}{2{k}^{2}+1}$）=-$\frac{1}{k}$x-$\frac{2k}{2{k}^{2}+1}$，
∴N（-$\frac{{k}^{2}}{2{k}^{2}+1}$，0），由已知得-$\frac{1}{4}$＜-$\frac{{k}^{2}}{2{k}^{2}+1}$＜0，
∴0＜2k²＜1，
∴|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（-\frac{4{k}^{2}}{2{k}^{2}+1}）^{2}-4×\frac{2{k}^{2}-2}{2{k}^{2}+1}}$
=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\frac{2\sqrt{2}\sqrt{1+{k}^{2}}}{2{k}^{2}+1}$=$\sqrt{2}$（1+$\frac{1}{2{k}^{2}+1}$），
∵$\frac{1}{2}$＜＜12k2+1＜1，
∴|AB|∈（$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，2$\sqrt{2}$），
線段AB長(zhǎng)的取值范圍（$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，2$\sqrt{2}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓方程、線段長(zhǎng)的取值范圍的求法，考查橢圓、直線與橢圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查轉(zhuǎn)化化歸思想，解題時(shí)要注意韋達(dá)定理、中點(diǎn)坐標(biāo)公式、直線方程、弦長(zhǎng)公式的合理運(yùn)用，屬于中檔題．