Question

15．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+x，x≤1}\\{lo{g}_{\frac{1}{3}}x，x＞1}\end{array}\right.$，若對(duì)任意的x∈R，不等式f（x）≤$\frac{5}{4}$m-m²恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（　�。�

• A． [-1，$\frac{1}{4}$]
• B． [$\frac{1}{4}$，1]
• C． [-2，$\frac{1}{4}$]
• D． [$\frac{1}{3}$，1]

Answer 1

分析 討論x＞1時(shí)，運(yùn)用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，可得f（x）＜0；x≤1時(shí)，由二次函數(shù)的性質(zhì)可得f（x）的最大值，由題意可得$\frac{5}{4}$m-m²≥$\frac{1}{4}$，解不等式即可得到所求范圍．

解答 解：由f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+x，x≤1}\\{lo{g}_{\frac{1}{3}}x，x＞1}\end{array}\right.$，
可得當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）=log${\;}_{\frac{1}{3}}$x遞減，可得f（x）＜0；
x≤1時(shí)，f（x）=-x²+x=-（x-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{1}{4}$，當(dāng)x=$\frac{1}{2}$時(shí)，f（x）取得最大值$\frac{1}{4}$．
則f（x）的最大值為$\frac{1}{4}$．
由對(duì)任意的x∈R，不等式f（x）≤$\frac{5}{4}$m-m²恒成立，
可得$\frac{5}{4}$m-m²≥$\frac{1}{4}$，
解得$\frac{1}{4}$≤m≤1．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查分段函數(shù)的運(yùn)用：求最值，考查不等式恒成立問(wèn)題的解法，注意運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．