Question

已知向量

a

=（sinθ，-

5

5

）與

b

=（1，cosθ）
（Ⅰ）若

a

與

b

互相垂直，求tanθ的值
（Ⅱ）若|

a

|=|

b

|，求sin（

π

2

+2θ）的值．

Answer 1

考點：數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關系,平面向量數(shù)量積的坐標表示、模、夾角

專題：平面向量及應用

分析：（Ⅰ）由向量垂直可得

a

•

b

=sinθ-

5

5

cosθ=0，由三角函數(shù)公式變形可得；
（Ⅱ）由模長公式可得θ的方程，由二倍角公式和誘導公式可得．

解答： 解：（Ⅰ）∵

a

=（sinθ，-

5

5

）與

b

=（1，cosθ），且

a

與

b

互相垂直，
∴

a

•

b

=sinθ-

5

5

cosθ=0，∴tanθ=

sinθ

cosθ

=

5

5

（Ⅱ）∵|

a

|=|

b

|，∴

sin2θ+ 1 5

=

1+cos2θ

，
∴sin2θ+

1

5

=1+cos2θ，
∴cos2θ-sin2θ=

1

5

-1=-

4

5

，cos2θ=-

4

5

，
∴sin(

π

2

+2θ)=cos2θ=-

4

5

點評：本題考查平面向量的數(shù)量積與垂直關系，涉及三角函數(shù)的運算，屬基礎題．