Question

13．我們把形如$y=\frac{|x|-a}\;（a＞0，b＞0）$的函數(shù)稱為“莫言函數(shù)”，其圖象與y軸的交點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)稱為“莫言點(diǎn)”，以“莫言點(diǎn)”為圓心且與“莫言函數(shù)”的圖象有公共點(diǎn)的圓稱為“莫言圓”．則當(dāng)a=b=1時(shí)，“莫言點(diǎn)”的坐標(biāo)是（0，1）；且“莫言圓”的面積的最小值是3π．

Answer 1

分析 根據(jù)已知中關(guān)于“莫言函數(shù)”，“莫言點(diǎn)”，“莫言圓”的定義，利用a=1，b=1，我們易求出“莫言點(diǎn)”坐標(biāo)，并設(shè)出“莫言圓”的方程，根據(jù)兩點(diǎn)的距離公式求出圓心到“莫言函數(shù)”圖象上點(diǎn)的最小距離，即可得到結(jié)論．

解答 解：當(dāng)a=b=1時(shí)，“莫言函數(shù)”為$f（x）=\frac{1}{|x|-1}$，
其圖象與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-1），所以“莫言點(diǎn)”的坐標(biāo)是（0，1）．
顯然f（x）為偶函數(shù)，且當(dāng)x≥0時(shí)，$f（x）=\frac{1}{x-1}$，則f（x）的大致圖象如圖所示．
由圖知，當(dāng)“莫言圓”與函數(shù)f（x）（x＞1）的圖象相切時(shí)，圓面積最小．
設(shè)“莫言圓”圓心為C，在函數(shù)$f（x）=\frac{1}{x-1}（x＞1）$圖象上任取一點(diǎn)P（x，y），
則${|{PC}|^2}={x^2}+{（\frac{1}{x-1}-1）^2}={x^2}+{（\frac{1}{x-1}）^2}-\frac{2}{x-1}+1={x^2}+{（\frac{1}{x-1}）^2}-\frac{2x}{x-1}+3={（x-\frac{1}{x-1}）^2}+3≥3$，
即$|{PC}|≥\sqrt{3}$，所以“莫言圓”半徑的最小值為$\sqrt{3}$，面積的最小值是3π．
故答案為：（0，1），3π．

點(diǎn)評(píng) 本題給出“莫言函數(shù)”、“莫言點(diǎn)”、“莫言圓”的定義，求圓的最小面積．著重考查了函數(shù)的圖象、圓的方程、兩點(diǎn)的距離公式與圓面積求法等知識(shí)，屬于中檔題．