Question

10．點(diǎn)P在雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右支上，其左、右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，直線PF₁與以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心、a為半徑的圓相切于點(diǎn)A，線段PF₁的垂直平分線恰好過點(diǎn)F₂，則該雙曲線的漸近線的斜率為±$\frac{4}{3}$．

Answer 1

分析 運(yùn)用線段的垂直平分線的性質(zhì)定理可得|PF₂|=|F₁F₂|=2c，設(shè)PF₁的中點(diǎn)為M，由中位線定理可得|MF₂|=2a，再由勾股定理和雙曲線的定義可得4b-2c=2a，結(jié)合a，b，c的關(guān)系，可得a，b的關(guān)系，即可得到雙曲線的漸近線的斜率．

解答 解：由線段PF₁的垂直平分線恰好過點(diǎn)F₂，
可得|PF₂|=|F₁F₂|=2c，
由直線PF₁與以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心、a為半徑的圓相切于點(diǎn)A，
可得|OA|=a，
設(shè)PF₁的中點(diǎn)為M，由中位線定理可得|MF₂|=2a，
在直角三角形PMF₂中，可得|PM|=$\sqrt{4{c}^{2}-4{a}^{2}}$=2b，
即有|PF₁|=4b，
由雙曲線的定義可得|PF₁|-|PF₂|=2a，
即4b-2c=2a，即2b=a+c，
即有4b²=（a+c）²，
即4（c²-a²）=（a+c）²，
可得a=$\frac{3}{5}$c，b=$\frac{4}{5}$c，
即有雙曲線的漸近線方程y=±$\frac{a}$x，
該雙曲線的漸近線的斜率為±$\frac{4}{3}$．
故答案為：±$\frac{4}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的定義、方程和性質(zhì)，主要是漸近線方程，考查平面幾何中垂直平分線定理和中位線定理的運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．