Question

6．如圖所示的幾何體為一簡單組合體，在底面ABCD中，∠DAB=60°，AD⊥DC，AB⊥BC，QD⊥平面ABCD，PA∥QD，PA=1，AD=AB=QD=2．
（Ⅰ）求證：平面PAB⊥平面QBC；
（Ⅱ）求該組合體的體積．

Answer 1

分析 （I）由PA⊥平面ABCD得出PA⊥BC，結(jié)合BC⊥AB推出BC⊥平面PAB，于是平面PAB⊥平面QBC；
（II）連接BD，過B作BO⊥AD于O，分別求出四棱錐B-PADQ和三棱錐Q-BCD的體積即可．

解答 證明：（Ⅰ）∵QD⊥平面ABCD，PA∥QD，∴PA⊥平面ABCD，
又∵BC?平面ABCD，∴PA⊥BC．
又BC⊥AB，PA?平面PAB，AB?平面PAB，PA∩AB=A，
∴BC⊥平面PAB．又∵BC?平面QBC，
∴平面PAB⊥平面QBC．
（Ⅱ）連接BD，過B作BO⊥AD于O．
∵PA⊥平面ABCD，BO?平面ABCD，
∴PA⊥BO，
又BO⊥AD，AD?平面PADQ，PA?平面PADQ，PA∩AD=A，
∴BO⊥平面PADQ，
∵AD=AB=2，∠DAB=60°，∴△ABD是等邊三角形，∴BO=$\sqrt{3}$．
∴V_B-PADQ=$\frac{1}{3}$S_梯形PADQ•BO=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×（1+2）×2×\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$．
∵∠ADC=∠ABC=90°，∴∠CBD=∠CDB=30°，又BD=AB=2，
∴BC=CD=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，∴S_△BCD=$\frac{1}{2}×2×\frac{2\sqrt{3}}{3}×sin30°$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∵QD⊥平面ABCD，∴V_Q-BCD=$\frac{1}{3}{S}_{△BCD}•QD$=$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{3}×2$=$\frac{2\sqrt{3}}{9}$．
∴該組合體的體積V=V_B-PADQ+V_Q-BCD=$\frac{11\sqrt{3}}{9}$．

點評 本題主要考查幾何體的體積及直線與直線、直線與平面的位置關系的基礎知識，考查空間想象能力、運算求解能力、推理論證能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．