Question

求下列函數(shù)的值域
（1）y=

sinx-3

sinx+3

（2）y=cos（x+

π

6

），x∈[0，

π

2

]
（3）y=log 

1

3

（sinx+3）

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)的最值

專(zhuān)題：三角函數(shù)的求值

分析：（1）化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式為y=1-

6

sin+3

，根據(jù)正弦函數(shù)的值域求得

6

sin+3

的范圍，可得函數(shù)y的值域．
（2）由條件利用余弦函數(shù)的定義域和值域球的函數(shù)的值域．
（3）根據(jù)正弦函數(shù)的定義域和值域求得sinx+3的范圍，再根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求得函數(shù)的值域．

解答： 解：（1）∵y=

sinx-3

sinx+3

=

(sinx+3)-6

sinx+3

=1-

6

sin+3

，∵2≤sinx+3≤4，∴

6

sinx+3

∈[

3

2

，3]，
∴y∈[-2，-

1

2

]，故函數(shù)的值域?yàn)閇-2，-

1

2

]．
（2）對(duì)于函數(shù)y=cos（x+

π

6

），當(dāng)x∈[0，

π

2

]，x+

π

6

∈[

π

6

，

2π

3

]，∴y=cos（x+

π

6

）∈[-

1

2

，

3

2

]，
即函數(shù)的值域?yàn)閇-

1

2

，

3

2

]．
（3）對(duì)于y=log 

1

3

（sinx+3），由于sinx+3∈[2，4]，∴l(xiāng)og 

1

3

（sinx+3）∈[log 

1

3

4，log 

1

3

2]，
故函數(shù)的值域?yàn)閇log 

1

3

4，log 

1

3

2]．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義域和值域，不等式的基本性質(zhì)，對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題．