Question

4．已知$\overrightarrow a，\overrightarrow b，\overrightarrow c$是同一個平面內(nèi)的三個單位向量，且$\overrightarrow a⊥\overrightarrow b$，則$（\overrightarrow a-\overrightarrow c）•（\overrightarrow b-\overrightarrow c）$的取值范圍是（　�。�

• A． $[-1，\sqrt{2}]$
• B． $[-\sqrt{2}，\sqrt{2}]$
• C． $[\sqrt{2}-2，2]$
• D． $[1-\sqrt{2}，1+\sqrt{2}]$

Answer 1

分析 可作$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}，\overrightarrow{OB}=\overrightarrow$，$\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{c}$，然后便以O(shè)A，OB所在直線分別為x軸，y軸建立平面直角坐標，從而可得出點A，B的坐標，并設(shè)C（cosα，sinα），然后進行向量坐標的數(shù)量積運算即可求出$（\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}）•（\overrightarrow-\overrightarrow{c}）$，根據(jù)兩角和的正弦公式化簡便可得出其取值范圍．

解答 解：作$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}，\overrightarrow{OB}=\overrightarrow$，$\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{c}$，以O(shè)A，OB所在直線分別為x，y軸，建立如圖所示平面直角坐標系，則：A（1，0），B（0，1），設(shè)C（cosα，sinα），則：
$\overrightarrow{a}=（1，0），\overrightarrow=（0，1），\overrightarrow{c}=（cosα，sinα）$；
∴$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}=（1-cosα，-sinα）$，$\overrightarrow-\overrightarrow{c}=（-cosα，1-sinα）$；
∴$（\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}）•（\overrightarrow-\overrightarrow{c}）=-cosα+co{s}^{2}α$-sinα+sin²α=$1-\sqrt{2}sin（α+\frac{π}{4}）$；
∵$-1≤sin（α+\frac{π}{4}）≤1$；
∴$（\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}）•（\overrightarrow-\overrightarrow{c}）∈[1-\sqrt{2}，1+\sqrt{2}]$．
故選D．

點評 考查單位向量的概念，向量的幾何意義，以及建立坐標系，利用向量坐標解決向量問題的方法，兩角和的正弦公式，以及正弦函數(shù)的值域．