4.已知$\overrightarrow a,\overrightarrow b,\overrightarrow c$是同一個平面內(nèi)的三個單位向量,且$\overrightarrow a⊥\overrightarrow b$,則$(\overrightarrow a-\overrightarrow c)•(\overrightarrow b-\overrightarrow c)$的取值范圍是( 。
A.$[-1,\sqrt{2}]$B.$[-\sqrt{2},\sqrt{2}]$C.$[\sqrt{2}-2,2]$D.$[1-\sqrt{2},1+\sqrt{2}]$

分析 可作$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a},\overrightarrow{OB}=\overrightarrow$,$\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{c}$,然后便以O(shè)A,OB所在直線分別為x軸,y軸建立平面直角坐標,從而可得出點A,B的坐標,并設(shè)C(cosα,sinα),然后進行向量坐標的數(shù)量積運算即可求出$(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c})•(\overrightarrow-\overrightarrow{c})$,根據(jù)兩角和的正弦公式化簡便可得出其取值范圍.

解答 解:作$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a},\overrightarrow{OB}=\overrightarrow$,$\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{c}$,以O(shè)A,OB所在直線分別為x,y軸,建立如圖所示平面直角坐標系,則:A(1,0),B(0,1),設(shè)C(cosα,sinα),則:
$\overrightarrow{a}=(1,0),\overrightarrow=(0,1),\overrightarrow{c}=(cosα,sinα)$;
∴$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}=(1-cosα,-sinα)$,$\overrightarrow-\overrightarrow{c}=(-cosα,1-sinα)$;
∴$(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c})•(\overrightarrow-\overrightarrow{c})=-cosα+co{s}^{2}α$-sinα+sin2α=$1-\sqrt{2}sin(α+\frac{π}{4})$;
∵$-1≤sin(α+\frac{π}{4})≤1$;
∴$(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c})•(\overrightarrow-\overrightarrow{c})∈[1-\sqrt{2},1+\sqrt{2}]$.
故選D.

點評 考查單位向量的概念,向量的幾何意義,以及建立坐標系,利用向量坐標解決向量問題的方法,兩角和的正弦公式,以及正弦函數(shù)的值域.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

16.如表是A市住宅樓房屋銷售價格y和房屋面積x的有關(guān)數(shù)據(jù):
房屋面積(m211511080135105
銷售價格(萬元)24.821.618.429.222
(1)設(shè)線性回歸方程為$\widehat{y}$=bx+a,已計算得b=0.2(保留一位小數(shù)),$\overline{y}$=23.2,求$\overline{x}$及a;
(2)估計面積為120m2的房屋銷售價格.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

16.若x,y滿足約束條件$\left\{\begin{array}{l}x-y-4≤0\\ x+2y-2≥0\\ x-2y+2≥0\end{array}\right.$,則z=2x+y的最小值等于1.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

12.隨機變量X只能取1,2,3,且P(X=1)=P(x=3),則E(X)=2.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

19.已知條件p:$\frac{4}{x-1}$≤-1,條件q:x2+x<a2-a,且p是q的一個必要不充分條件,求實數(shù)a的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

9.已知△ABC的面積為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$,AC=2,∠BAC=$\frac{π}{3}$,則∠ACB=$\frac{π}{6}$.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

16.10件產(chǎn)品中有7件正品,3件次品,從中任取1件,則取到次品的概率是( 。
A.$\frac{1}{2}$B.$\frac{1}{3}$C.$\frac{7}{10}$D.$\frac{3}{10}$

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

13.已知函數(shù)f(x)=($\frac{1}{3}$)x,
(1)當(dāng)x∈[-1,1]時,求函數(shù)y=[f(x)]2-2af(x)+3的最小值g(a);
(2)是否存在實數(shù)m>n>3,使得g(x)的定義域為[n,m],值域為[n2,m2]?若存在,求出m、n的值;若不存在,請說明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

14.設(shè)函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,-π<φ<0)的兩個相鄰的對稱中心分別為(${\frac{π}{8}$,0),(${\frac{5π}{8}$,0).
(Ⅰ)求f(x)的解析式及其對稱軸方程;
(Ⅱ)利用五點法畫出函數(shù)f(x)在[$\frac{π}{8}$,$\frac{9π}{8}}$]上的簡圖.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案