【題目】已知橢圓的右焦點與短軸兩端點構成一個面積為2的等腰直角三角形，為坐標原點．

（1）求橢圓的方程；

（2）設點在橢圓上，點在直線上，且，求證：為定值；

（3）設點在橢圓上運動，，且點到直線的距離為常數(shù)，求動點的軌跡方程．

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】試題分析：(1)由橢圓的右焦點與短軸兩端點構成一個面積為的等腰直角三角形,求出,可得橢圓方程;(2)設，則的方程為：,由得點坐標,可證明．(3) 設，由得 ,又點在橢圓上得：,從而化簡可得的軌跡方程.

試題解析：

解：（1）由條件可得，

橢圓的方程為．

（2）設，則的方程為：，

由得：

所以

．

（3）設，由得 ①

又點在橢圓上得： ②

聯(lián)立①②可得 ， ③

由得，

即

可得，

將③代入得：

化簡得點軌跡方程為：．

點睛:本題考查圓錐曲線的標準方程,曲線與方程,直線與橢圓的位置關系以及定值問題,屬于中檔題目.證明定值問題,先設出點坐標,根據(jù)求出直線的方程,再根據(jù)點在上求出坐標, 證明為定值,利用兩點間距離公式代入坐標,根據(jù)點在曲線上兩元換一元,分子分母成倍數(shù)關系,即為定值.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】設函數(shù)，．

（1）當（為自然對數(shù)的底數(shù)）時，求的最小值；

（2）討論函數(shù)零點的個數(shù)．

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【題目】已知函數(shù).

(1)若為奇函數(shù)，求的值；

(2)試判斷在內的單調性，并用定義證明.

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【題目】有些家用電器(如冰箱等)使用了氟化物,氟化物的釋放破壞了大氣上層的臭氧層,使臭氧含量呈指數(shù)型函數(shù)變化,在氟化物排放量維持某種水平時,具有關系式Q=Q0e-0.0025t,其中Q0是臭氧的初始量.

(1)隨著時間t的增加,臭氧的含量是增加的還是減少的?

(2)試估計多少年以后將會有一半的臭氧消失?(參考數(shù)據(jù):ln 0.5=-0.69)

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【題目】

在某校組織的“共筑中國夢”競賽活動中，甲、乙兩班各有6位選手參賽，在第一輪筆試環(huán)節(jié)中，評委將他們的筆試成績作為樣本數(shù)據(jù)，繪制成如下圖所示的莖葉圖．為了增加結果的神秘感，主持人暫時沒有公布甲、乙兩班最后一位選手的成績．

（Ⅰ）求乙班總分超過甲班的概率；

（Ⅱ）主持人最后宣布：甲班第六位選手的得分是90分，乙班第六位選手的得分是97分．請你從平均分和方差的角度來分析兩個班的選手的情況．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】設f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函數(shù)，且f(x＋2)＝－f(x)，當0≤x≤1時，f(x)＝x，則f(7.5)等于(　　)

A. 0.5 B. －0.5

C. 1.5 D. －1.5

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐中，已知，，底面，且，，為的中點，在上，且.

（1）求證：平面平面；

（2）求證：平面；

（3）求三棱錐的體積.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】對某校高二年級學生參加社區(qū)服務次數(shù)進行統(tǒng)計，隨機抽取名學生作為樣本，得到這名學生參加社區(qū)服務的次數(shù)．根據(jù)此數(shù)據(jù)作出了頻數(shù)與頻率的統(tǒng)計表和頻率分布直方圖如下：

（1）求出表中，及圖中的值；

（2）若該校高二學生有人，試估計該校高二學生參加社區(qū)服務的次數(shù)在區(qū)間內的人數(shù)；

（3）在所取樣本中，從參加社區(qū)服務的次數(shù)不少于次的學生中任選人，求至多一人參加社區(qū)服務次數(shù)在區(qū)間內的概率．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)的定義域為,對任意實數(shù),都有.

（1）若， ，且，求， 的值；

（2）若為常數(shù)，函數(shù)是奇函數(shù)，

①驗證函數(shù)滿足題中的條件；

②若函數(shù)求函數(shù)的零點個數(shù).

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