Question

6．給出以下命題：
①若方程x²+2x+m=0有實根，則m≤2；
②若雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$的一條漸近線斜率為2，則其離心率為$\sqrt{5}$；
③已知回歸直線的斜率的估計值為1.2，樣本點的中心為（4，5），則回歸直線方程為$\hat y=1.2x+0.2$；
④秦九韶算法的特點在于把求一個n次多項式的值轉化為求n個一次多項式的值；
⑤直線l：y=kx+1與圓O：x²+y²=1相交于A，B兩點，則“k=1”是“△OAB的面積為$\frac{1}{2}$”必要不充分條件．
其中正確的命題序號為①②③④．

Answer 1

分析 ①，若方程x²+2x+m=0有實根，則△=2²-4m≥0⇒m≤1⇒m≤2；
②，若雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$的一條漸近線斜率為2，則$\frac{a}=2$，其離心率為$\sqrt{\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}}=\sqrt{\frac{{a}^{2}+^{2}}{{a}^{2}}}=\sqrt{1+\frac{^{2}}{{a}^{2}}}=\sqrt{5}$；
③，根據回歸直線必過樣本的中心點為，借助點斜式方程，可求得回歸直線方程；
④，秦九韶算法的特點在于把求一個n次多項式的值轉化為求n個一次多項式的值，；
⑤，直線l：y=kx+1與圓O：x²+y²=1相交于A，B兩點，OAB的面積為S=$\frac{1}{2}$×$\frac{2|k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}×\frac{1}{\sqrt{1+{k}^{2}}}=\frac{|k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\frac{1}{2}$，k=±1，根據充分必要條件的定義可判斷

解答 解：對于①，若方程x²+2x+m=0有實根，則△=2²-4m≥0⇒m≤1⇒m≤2，故正確；
對于②，若雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$的一條漸近線斜率為2，則$\frac{a}=2$，其離心率為$\sqrt{\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}}=\sqrt{\frac{{a}^{2}+^{2}}{{a}^{2}}}=\sqrt{1+\frac{^{2}}{{a}^{2}}}=\sqrt{5}$，故正確；
對于③，已知回歸直線的斜率的估計值為1.2，樣本點的中心為（4，5），根據回歸直線方程恒過樣本的中心點，可得回歸直線方程為 $\widehat{y}$-5=1.2（x-4），
即回歸直線方程為$\hat y=1.2x+0.2$，故正確；
對于④，秦九韶算法的特點在于把求一個n次多項式的值轉化為求n個一次多項式的值，正確；
對于⑤，∵直線l：y=kx+1與圓O：x²+y²=1相交于A，B兩點，
∴d=$\frac{1}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，R=1，根據R²=d²+（$\frac{AB}{2}$）²，∴|AB|=$\frac{2|k|\\;}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
∴“△OAB的面積為S=$\frac{1}{2}$×$\frac{2|k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}×\frac{1}{\sqrt{1+{k}^{2}}}=\frac{|k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\frac{1}{2}$，∴k=±1，
根據充分必要條件的定義可判斷：“k=1”是“△OAB的面積為$\frac{1}{2}$”的充分而不必要條件，故錯
故答案為：①②③④

點評 本題考查了命題真假的判定，屬于基礎題．